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相关试卷

1、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为棱 $B B_{1}$ 的中点，Q为正方形 $B B_{1} C_{1} C$ 内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )

A、若 $D_{1} Q ∥$ 平面 $A_{1} P D$ ，则动点Q的轨迹是一条线段 B、存在Q点，使得 $D_{1} Q ⊥$ 平面 $A_{1} P D$ C、当且仅当Q点落在棱 $C C_{1}$ 上某点处时，三棱锥 $Q - A_{1} P D$ 的体积最大 D、若 $D_{1} Q = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，那么Q点的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2}}{4} π$

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2、关于椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，下列结论正确的是（）

A、长轴长为4 B、短轴长为1 C、焦距为 $2 \sqrt{2}$ D、离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3、已知点 $P$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上任意一点，直线 $l$ 过 $⊙ M : x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的圆心且与 $⊙ M$ 交于 $A, B$ 两点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是（）

A、 $[3, 35]$ B、 $[2, 34]$ C、 $[2, 36]$ D、 $[4, 36]$

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4、已知方程 $\frac{x^{2}}{k + 5} + \frac{y^{2}}{3 - k} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(3, + \infty)$

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5、直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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6、若两平行直线 $l_{1} : a x + 8 y = 0$ 与 $l_{2} : 3 x + 4 y + b = 0$ 之间的距离是 $1$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $- 4$ 或11 B、 $- 4$ 或16 C、1或11 D、1或16

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7、某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人的开发主要采用 $R L H F$ （人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为80%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为40%．

(1)、在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人的回答有5个被采纳，现从这8个问题中抽取4个，以X表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求X的分布列和数学期望；

(2)、设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人的回答被采纳的概率为70%，求p的值．

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8、已知锐角 $△ A B C$ ，角 $A, B, C$ 的对边分别 $a, b, c$ ，且 $a cos C + c cos A = 2 b cos B$ ，则 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2}, 2)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4 \sqrt{3}}{3})$ C、 $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 2 \sqrt{3})$

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9、已知直线 $l_{1} : m x - 4 y + 2 = 0 (m \in R)$ 与 $l_{2} : x - m y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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10、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = 2$ ，四边形 $A B C D$ 是直角梯形，且 $A B ⊥ A D$ ， $B C ∥ A D$ ， $A D = A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $M$ 为 $P C$ 中点， $E$ 在线段 $B C$ 上，且 $B E = 1$ ．

(1)、求证： $D M ∥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P D E$ 所成角的正弦值．

(3)、求点 $C$ 到平面 $P D E$ 的距离．

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11、 $2024$ 年 $10$ 月 $27$ 日，成都市举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.当时成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.随机抽取了 $100$ 名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值，并估计这 $100$ 名候选者面试成绩的平均数；

(2)、若从以上各组中用分层随机抽样的方法选取 $20$ 人，担任了本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为 $62$ 和 $40$ ，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为 $80$ 和 $50$ ，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.
（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为： $m$ ， $\bar{x_{1}}$ ， $s_{1}^{2}$ ； $n$ ， $\bar{x_{2}}$ ， $s_{2}^{2}$ ，记两组数据总体的样本平均数为 $\bar{w}$ .则总体样本方差 $s^{2} = \frac{m}{m + n} [s_{1}^{2} + {(\bar{x_{1}} - \bar{w})}^{2}] + \frac{n}{m + n} [s_{2}^{2} + {(\bar{x_{2}} - \bar{w})}^{2}])$ .

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12、 $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (4, 0)$ ， $B (0, 2)$ ， $C (3, 1)$ .

(1)、求边 $A B$ 上的中线所在直线的方程；

(2)、求 $△ A B C$ 的外接圆 $G$ （ $G$ 为圆心）的标准方程.

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13、同时掷两个骰子一次，计算向上的点数，求：

(1)、点数之和是7的概率；

(2)、点数中恰有一个奇数和一个偶数的概率．

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14、空间直角坐标系 $x O y$ 中，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{n} = (a, b, c)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且方向向量为 $\vec{n} = (u, v, w) (u v w \neq 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x - x_{0}}{u} = \frac{y - y_{0}}{v} = \frac{z - z_{0}}{w}$ ，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面 $α$ 的方程为 $x - y + z + 1 = 0$ ，直线 $l$ 是两个平面 $x - y + 2 = 0$ 与 $2 x - z + 1 = 0$ 的交线，则平面 $α$ 的法向量为；直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为.

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15、已知空间向量 $\vec{a} = (2, 2, 2)$ ， $\vec{b} = (2, - 1, 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标是

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16、若向量 $\vec{a} = (1, λ, 1), \vec{b} = (2, - 1, - 2)$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角余弦为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ ，则 $λ$ 等于（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ 或 $\sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{2}$

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17、从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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18、某校在运动会期间组织了20名啦啦队队员，她们的身高（单位：cm）数据按从小到大排序如下：
162   162   163   165   165   165   165   167   167   167
168   168   170   170   171   173   175   175   178   178
则这20名队员身高的第75百分位数为（     ）

A、171 B、172 C、173 D、174

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19、为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用比例分配分层随机抽样的方法抽出一个容量为1500的样本，三个年级学生数之比依次为 $k : 3 : 5$ ，已知高一年级共抽取了300人，则高三年级抽取的人数为（）

A、750 B、300 C、450 D、150

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20、对于函数 $f (x)$ ，若其定义域内存在实数 $x$ 满足 $f (- x) = - f (x)$ ，则称 $f (x)$ 为“伪奇函数”．
（1）已知函数 $f (x) = \frac{x - 2}{x + 1}$ ，试问 $f (x)$ 是否为“伪奇函数”？说明理由；
（2）若幂函数 $g (x) = (n - 1) x^{3 - n} (n \in R)$ 使得 $f (x) = 2^{g (x)} + m$ 为定义在 $[- 1, 1]$ 上的“伪奇函数”，试求实数 $m$ 的取值范围；
（3）是否存在实数 $m$ ，使得 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} + m^{2} - 3$ 是定义在 $R$ 上的“伪奇函数”，若存在，试求实数 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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