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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{15} > 0$ ， $S_{16} < 0$ ，则 $\frac{a_{2}}{a_{1}}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{6}{7}, \frac{7}{8})$ B、 $(\frac{6}{7}, \frac{13}{15})$ C、 $(- \infty, \frac{6}{7}) \cup (\frac{7}{8}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{6}{7}) \cup (\frac{13}{15}, + \infty)$

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2、已知椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，焦距为 $2 c$ ，直线 $y = \frac{\sqrt{2}}{4} x$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点， $|A B| = 2 c$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3、已知 $sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{3}{5}, \frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ ，则 $\frac{sin x}{1 - tan x} =$ （）

A、 $\frac{21}{100}$ B、 $- \frac{21}{100}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{80}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{80}$

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4、已知a､b为异面直线，则下列命题正确的是（）

A、过直线a､b外一点P一定可以作一条与a､b都平行的直线 B、过直线a､b外一点P一定可以作一个与a､b都平行的平面 C、过直线a一定可以作一个与直线b平行的平面 D、过直线a一定可以作一个与直线b垂直的平面

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5、设满足一元线性回归模型的两个变量的 $n$ 对样本数据为 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ ，下列统计量中不能刻画数据与直线 $y = b x + a$ 的“整体接近程度”的是（）

A、 $\sum_{i = 1}^{n} |y_{i} - (b x_{i} + a)|$ B、 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{|b x_{i} - y_{i} + a|}{\sqrt{b^{2} + 1}}$ C、 $\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - (b x_{i} + a))}^{2}$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{y_{i} - (b x_{i} + a)}{\sqrt{2}}$

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6、已知集合 $A = {x ∣ x < a}$ ， $B = {x ∣ - 2 < x < 1}$ ，且 $A \cup ∁_{R} B = R$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $[- 2, 1]$ D、 $(- 2, + \infty)$

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7、函数 $g (x) = a x + 1 (a > 0)$ ， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，若 $\forall x_{1} \in [- 1, 1]$ ， $\exists x_{0} \in [- 2, 1]$ 使 $g (x_{1}) = f (x_{0})$ 成立，则 $a$ 的取值范围是．

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8、下列说法错误的是（）

A、若 $A, B, C, D$ 是空间任意四点，则有 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$ B、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则存在唯一的实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ C、若 $\vec{A B}, \vec{C D}$ 共线，则 $A B / / C D$ D、对空间任意一点 $O$ 与不共线的三点 $A, B, C$ ，若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ （其中 $x, y, z \in R$ ），则 $P, A, B, C$ 四点共面

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9、如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $D = 60 °, D C = 2 A D = 2$ ，将 $△ A D C$ 沿 $A C$ 折起，使点D到达点P位置，且 $P C ⊥ B C$ ，连接 $P B$ 得三棱锥 $P - A B C$ ，如图2．

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、在线段 $P C$ 上是否存在点M，使平面 $A M B$ 与平面 $M B C$ 的夹角的余弦值为 $\frac{5}{8}$ ，若存在，求出 $\frac{| P M |}{| P C |}$ 的值，若不存在，请说明理由．

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10、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别是棱 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $E$ 在 $B D$ 上，点 $F$ 在 $B_{1} C$ 上，且 $B E = C F$ ，点 $P$ 在线段 $C M$ 上运动，给出下列四个结论：

①当点 $E$ 是 $B D$ 中点时，直线 $E F / /$ 平面 $D C C_{1} D_{1}$ ；
②直线 $B_{1} D_{1}$ 到平面 $C M N$ 的距离是 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ ；
③存在点 $P$ ，使得 $∠ B_{1} P D_{1} = 90^{\circ}$ ；
④ $△ P D D_{1}$ 面积的最小值是 $\frac{5 \sqrt{5}}{6}$ ．
其中所有正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11、某乒乓球队在长春训练基地进行封闭式集训，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙发球甲赢的概率为 $\frac{1}{4}$ ，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．则该局打4个球甲赢的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{5}{24}$

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12、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |- 1 < x < 2\}$ ， $B = \{x |1 < x \leq 3\}$ ，求 $A \cup B$ ， $A \cap B$ ， $(∁_{U} A) \cap B$

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13、已知集合 $A = {x | (x - 1) (x - 2) \leq 0}, B = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 3\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{2, 3\}$

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14、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，集合 $M \subseteq D$ ，若存在正实数 $t$ ，使得任意 $x \in M$ ，都有 $x + t \in D$ ，且 $f (x + t) > f (x)$ ，则称 $f (x)$ 在集合 $M$ 上具有性质 $P (t)$ .

(1)、已知函数 $f (x) = x^{2}$ ，判断 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 0]$ 上是否具有性质 $P (1)$ ，并说明理由；

(2)、已知函数 $f (x) = x^{3} - x$ ，且 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上具有性质 $P (n)$ ，求正整数 $n$ 的最小值；

(3)、如果 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = |x - a| - a (a \in R)$ ，且 $f (x)$ 在 $R$ 上具有性质 $P (6)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = \frac{a x - b}{1 + x^{2}}$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的单调性，并用单调性定义证明；

(3)、解不等式 $f (t - 1) + f (t^{2}) > f (0)$ ．

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16、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为1， $E$ ， $F$ 分别是 $A D$ 和 $B C$ 边上的点.沿 $E F$ 折叠使 $C$ 与线段 $A B$ 上的 $M$ 点重合（ $M$ 不在端点 $A, B$ 处），折叠后 $C D$ 与 $A D$ 交于点 $G$ .

(1)、证明： $△ A M G$ 的周长为定值.

(2)、求 $△ A M G$ 的面积 $S$ 的最大值.

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17、已知函数 $f (x), g (x)$ 的定义域为 $R, y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且 $f (1 - x) + g (x) = 10$ ， $f (x) - g (x - 4) = 5$ ，若 $f (2) = 1$ ，则 $g (1) + g (2) =$ .

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18、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + x, 0 < x < 2 \\ - 2 x + 8, x \geq 2 \end{array}$ ，若 $f (a) = f (a + 2)$ ，则 $f (2 a) =$ .

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19、定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足： $f (2) = 2$ ，且对于任意 $x_{1} > x_{2} > 0$ ， $x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2}) > 2 x_{2} - 2 x_{1}$ ，若函数 $g (x) = \frac{f (x) - 2}{x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 B、 $g (- 3) < g (4)$ C、 $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 上单调递减 D、若正数 $m$ 满足 $f (2 m) - \frac{m}{2} f (4) + m - 2 > 0$ ，则 $m \in (2, + \infty)$

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20、已知a，b为正实数，且 $a b + a + b = 8$ ，则（）

A、 $a b$ 的最大值为4 B、 ${(a + 1)}^{2} + {(b + 1)}^{2}$ 的最小值为18 C、 $a + b$ 的最小值为4 D、 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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