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相关试卷

1、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 与 $x$ 轴交于 $M, N$ 两点，点 $P$ 在直线 $l : x + y - 4 \sqrt{2} = 0$ 上，过圆 $O$ 上的任意两点 $S, T$ 分别向 $l$ 作垂线，垂足为 $S^{'}, T^{'}$ ，以下说法错误的是（）

A、 $∠ S P T$ 的最大值为 $\frac{π}{3}$ B、当 $S T$ 为直径时，四边形 $S S^{'} T T^{'}$ 面积的最大值为16 C、 $|P M| + |P N|$ 的最小值为 $6 \sqrt{2}$ D、 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 为定值

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2、已知动点 $P$ 到定点 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ 的距离之和为4，直线 $l : y = k (x + 1) - 2$ 与动点 $P$ 的轨迹有交点，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2, \frac{2}{3}]$ B、 $[- \frac{2}{3}, 2]$ C、 $(- \infty, - 2] \cup [\frac{2}{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{2}{3}] \cup [2, + \infty)$

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3、已知抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点到双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一条渐近线的距离为 $\frac{1}{16}$ ，则该双曲线的方程为（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{15} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{63} = 1$

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4、设数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} - t n, (n \in N^{*})$ ，若数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，则正实数 $t$ 的取值范围为（）

A、 $0 < t < 3$ B、 $t < 3$ C、 $0 < t \leq 2$ D、 $ι \leq 2$

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5、在直角坐标平面内，与点 $P (- 1, 0)$ 的距离为1，且与点 $Q (2, 0)$ 的距离为2的直线共有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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6、已知 $A (x, 1, 2), B (3, y, 0)$ ，若直线 $l$ 的方向向量 $\vec{v} = (- 1, - 2, 2)$ 与直线 $A B$ 的方向向量平行，则 $x + y =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7、数列 $0, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \dots$ 的一个通项公式为（）

A、 $a_{n} = \frac{n - 2}{n} (n \in N^{*})$ B、 $a_{n} = \frac{n - 1}{n} (n \in N^{*})$ C、 $a_{n} = \frac{n - 1}{n + 1} (n \in N^{*})$ D、 $a_{n} = \frac{n - 2}{n + 2} (n \in N^{*})$

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8、已知函数 $f (x) = \sqrt{(1 - a^{2}) x^{2} + 3 (1 - a) x + 6}$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2, 1]$ ，求实数 $a$ 的值；

(3)、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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9、已知： $f (x) = a x + b$ ，且 $f (1) = 0$ ， $f (0) = - \frac{1}{2}$ ，则 $f (5) =$ .

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10、若命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 m x + m + 2 < 0$ ”为真命题，则实数m的取值范围是.

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11、不等式 $\frac{2 x}{x - 2} \leq 1$ 的解集为.

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12、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2 x & , x \geq 3 \\ - x + 5 & , x < 3 \end{array}$ ，则 $f (f (1)) =$ （）

A、 $- 1$ B、4 C、6 D、8

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13、已知函数 $y = f (x + 1)$ 的定义域为 $[1, 2]$ ，则函数 $y = f (2 x - 1)$ 的定义域为（）

A、 $[\frac{1}{2}, 1]$ B、 $[\frac{3}{2}, 2]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[3, 5]$

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14、已知集合 $A = \{1, a^{2} + 4 a, a - 2\}$ ， $- 3 \in A$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 3$ C、 $- 3$ 或 $- 1$ D、 $3$

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15、对于一个给定的数列 $\{a_{n}\}$ ，令 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 称为数列 $\{a_{n}\}$ 的一阶和数列，再令 $c_{n} = b_{n} + b_{n + 1}$ ，则数列 $\{c_{n}\}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的二阶和数列，以此类推，可得数列 $\{a_{n}\}$ 的p阶和数列.

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 的二阶和数列是等比数列，且 $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{3} = 0$ ， $a_{4} = 3$ ，求 $a_{7}$ ；

(2)、若 $a_{n} = n$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的二阶和数列的前n项和；

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 是首项为1的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的一阶和数列，且 $3 a_{k - 1} \leq 2 b_{k - 1} (k \geq 2)$ ， $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} = 1000$ ，求正整数k的最大值，以及k取最大值时 $\{a_{n}\}$ 的公差.

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16、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} + a x + \frac{1}{x}$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 存在极大值，求a的取值范围.

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 1 > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过点 $M (1, 0)$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于点 $A, B$ ，且当 $l ⊥ x$ 轴时， $|A B| = \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、椭圆 $C$ 的左焦点为 $F$ ，若 $△ F A B$ 的外心在 $y$ 轴上，求直线 $l$ 的方程.

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18、在三角形 $A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $c \cos B + \frac{4}{5} b = a$ .

(1)、求 $\cos C$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，且 $b {}_{2}+ c^{2} < 4$ ，求 $\frac{1}{5} b + \frac{1}{9} c^{2}$ 的取值范围.

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19、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D, E$ 分别是 $A A_{1}, B C$ 的中点， $A C = B C = \frac{1}{2} A A_{1}$ ， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ .

(1)、求证： $A E / /$ 平面 $C_{1} B D$ ；

(2)、求平面 $C_{1} B D$ 与平面 $B C C_{1}$ 夹角的余弦值.

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20、已知函数 $f (x) = (x + 2 b - 1) e^{x} + \frac{1}{2} a x^{2} + 2 a b x - 1 (b > 0)$ 在 $R$ 上单调递增，则 $\frac{\sqrt[b]{e}}{a}$ 的最大值为.

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