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相关试卷

1、等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，前 $n$ 项和 $S_{n} = 3^{n} + a$ ，则 $a$ 的值为（）

A、2 B、 $- 1$ C、1 D、-2

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2、如图所示，若 $0 < a < 1$ ，函数 $y = a^{x}$ 与 $y = x + a$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3、已知不等式 $x^{2} - m x + 4 < 0$ 的解集为空集，则 $m$ 的取值集合为（）

A、 $(- 4, 4)$ B、 $(- \infty, - 4) \cup (4, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 4] \cup [4, + \infty)$ D、 $[- 4, 4]$

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4、已知函数 $f (x) = x^{5} + b x - 8$ ，若 $f (m) = - 3$ ，则 $f (- m)$ 的值是（）

A、3 B、 $- 13$ C、 $- 5$ D、5

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5、函数 $y = 2 \sin 3 x \cos 3 x$ 的最大值和最小正周期分别是（）

A、2， $\frac{π}{3}$ B、1， $\frac{2 π}{3}$ C、1， $\frac{π}{3}$ D、2， $\frac{2 π}{3}$

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6、下列选项说法正确的是（）

A、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$ B、若 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a < b$ C、若 $a > b$ ，则 $5 - a > 5 - b$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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7、“ $2^{a}$ ， $2^{b}$ ， $2^{c}$ 成等比数列”是“ $2 b = a + c$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、函数 $y = \frac{2}{\sqrt{7 - |x - 3|}}$ 的定义域是（）

A、 $(- 4, 10)$ B、 $(- 10, 4)$ C、 $(- \infty, - 4) \cup (10, + \infty)$ D、 $[- 4, 10]$

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9、已知全集 $U = {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4}$ ，集合 $A = {x \in N ∣ - 3 < x < 2}$ ， $B = {1, 2, 3}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B)$ 等于（）

A、 ${4}$ B、 ${- 1, - 2, 4}$ C、 ${0, - 1, - 2, 4}$ D、 ${- 2, 2, 4}$

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10、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为2.

(1)、求 $C$ 的方程：

(2)、已知 $O$ 为坐标原点，点 $P$ 在 $C$ 上，点 $Q$ 满足 $\vec{P Q} = 3 \vec{Q F}$ ，求直线 $O Q$ 斜率的最大值.

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11、已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若在曲线 $E_{1}$ 的方程 $F (x, y) = 0$ 中，以 $(λ x, λ y)$ （ $λ$ 为非零的正实数）代替 $(x, y)$ 得到曲线 $E_{2}$ 的方程 $F (λ x, λ y) = 0$ ，则称曲线 $E_{1}$ ， $E_{2}$ 关于原点“伸缩”，变换 $(x, y) \to (λ x, λ y)$ 称为“伸缩变换”， $λ$ 称为伸缩比.

(1)、已知曲线 $E_{1}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，伸缩比 $λ = \frac{1}{2}$ ，求 $E_{1}$ 关于原点“伸缩变换”后所得曲线 $E_{2}$ 的方程；

(2)、射线 $l$ 的方程 $y = \sqrt{2} x (x \geq 0)$ ，如果椭圆 $E_{1} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 经“伸缩变换”后得到椭圆 $E_{2}$ ，若射线 $l$ 与椭圆 $E_{1}$ ， $E_{2}$ 分别交于两点 $A$ ， $B$ ，且 $|A B| = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求椭圆 $E_{2}$ 的方程；

(3)、对抛物线 $E_{1} : x^{2} = 2 p_{1} y$ ，作变换 $(x, y) \to (λ_{1} x, λ_{1} y)$ ，得抛物线 $E_{2} : x^{2} = 2 p_{2} y$ ；对 $E_{2}$ 作变换 $(x, y) \to (λ_{2} x, λ_{2} y)$ ，得抛物线 $E_{3} : x^{2} = 2 p_{3} y$ ；如此进行下去，对抛物线 $E_{n} : x^{2} = 2 p_{n} y$ 作变换 $(x, y) \to (λ_{n} x, λ_{n} y)$ ，得抛物线 $E_{n + 1} : x^{2} = 2 p_{n + 1} y$ ， …若 $p_{1} = 1$ ， $λ_{n} = 2^{n}$ ，求数列 $\{p_{n}\}$ 的通项公式 $p_{n}$ .

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $(q - 1) S_{n} = q a_{n} - 1, (q > 0)$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、当 $q = 2$ 时，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{n + 2}{n (n + 1) a_{n}}$ ，求证： $\frac{3}{2} \leq b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} < 2$ ；

(3)、若对任意正整数n都有 $a_{n + 1} \geq n$ 成立，求正实数q的取值范围．

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14、如图，在三棱台 $A B C - D E F$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = 2 D E = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $C F = 2$ ，且 $C F ⊥$ 平面 $A B C$ .设P，Q，R分别为棱 $A C$ ， $F C$ ， $B C$ 的中点.

(1)、证明：平面 $B C D ⊥$ 平面 $P Q R$ ；

(2)、求平面 $B C D$ 与平面 $B D E$ 所成的角的余弦值.

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15、三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）.如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角 $α$ 为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积 $S_{1}$ 与大正方形的面积 $S_{2}$ 之比为 $1 : 16$ ，则 $cos (α - \frac{π}{4}) =$ .

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16、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2，底面边长为1，则该球的表面积为.

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17、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{x |x^{2} < 9\}$ ，则 $A \cap B =$ ．

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18、已知函数 $f (x) = e^{\sin x} - e^{\cos x}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的一个周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、 $f (x + \frac{π}{4})$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上有且仅有一个极值点

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19、下列说法正确的是（）

A、若不等式 $a x^{2} + 2 x + c < 0$ 的解集为 $\{x | x < - 1$ 或 $x > 2\}$ ，则 $a + c = 2$ B、若命题p： $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $x - 1 > \ln x$ ，则p的否定为： $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $x - 1 < \ln x$ C、在△ABC中，“ $\sin A + \cos A = \sin B + \cos B$ ”是“ $A = B$ ”的充要条件 D、若 $m x^{2} + 3 x + 2 m < 0$ 对 $\forall m \in [0, 1]$ 恒成立，则实数x的取值范围为 $(- 2, - 1)$

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20、若复数 $z$ 满足 $z + i^{2023} = \frac{2 - i}{2}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则下列说法正确的是（）

A、 $|z| = \frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在第四象限 C、 $z$ 的虚部为 $\frac{i}{2}$ D、 $z^{2} = \frac{5}{4} + i$

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