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相关试卷

1、函数 $f (x) = \sqrt{3 - x} + \frac{5}{x - 2}$ 的定义域为（）

A、 $[3, + \infty)$ B、 $(2, 3]$ C、 $(- \infty, 2) \cup (2, 3]$ D、 $(- \infty, 2) \cup (2, 3)$

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2、若 $\cos (α - β) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\cos 2 α = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，并且 $α, β$ 均为锐角，且 $α < β$ ，则 $α + β$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3、坐标平面内点 $P$ 的坐标为 $(sin 5, cos 5)$ ，则点 $P$ 位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4、泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $n (n \in N^{*})$ 阶导数都存在时，它的公式表达式如下： $f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} + \frac{f^{'''} (0)}{3!} x^{3} + \dots + \frac{f^{n} (0)}{n!} x^{n} + \dots$ ．注： $f^{'} (0)$ 表示函数 $f (x)$ 在原点处的一阶导数， $f^{″} (0)$ 表示在原点处的二阶导数，以此类推，和 $f^{n} (0) (n \geq 3)$ 表示在原点处的 $n$ 阶导数．

(1)、求 $f (x) = ln (1 + x)$ 的泰勒公式（写到含 $x^{3}$ 的项为止即可），并估算 $ln 1.1$ 的值（精确到小数点后三位）；

(2)、当 $x > 0$ 时，比较 $ln (1 + x)$ 与 $x - \frac{x^{2}}{2}$ 的大小，并证明；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{2 k - 1}{2 k^{2}} < \ln (1 + n) < \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ ．

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5、已知函数 $f (x) = sin x cos x + {cos}^{2} x$ ， $x \in R$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、函数 $f (x)$ 最大值；

(3)、求 $f (x)$ 的单调增区间.

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6、（1）设 $α$ ， $β$ 为锐角，且 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\cos β = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，求 $α + β$ 的值；
（2）化简求值： $\sin 50 ° (1 + \sqrt{3} \tan 10 °)$ ．

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7、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) + B$ $(A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列四个结论：
① $f (x)$ 关于点 $(\frac{π}{6}, 3)$ 对称；
② $f (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称；
③ $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}]$ 上单调递减；
④ $f (x)$ 在区间 $(- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{12})$ 上的值域为 $(1, 3)$ .
正确结论的序号为.

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8、若函数 $f (x) = sin x - x + 1$ ，则不等式 $f (x + 1) + f (2 - 2 x) > 2$ 的解集为．

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9、化简： $\frac{\sin (180 ° - α) \cos (180 ° - α) \tan (90 ° - α)}{\sin (270 ° + α)} =$ .

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10、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f (x + π)$ 为奇函数， $f (x + 2 π)$ 为偶函数.当 $x \in [0, π]$ 时， $f (x) = sin x$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (\frac{5 π}{2}) = - 1$ B、 $f (x)$ 在 $(3 π, \frac{7 π}{2})$ 上单调递减 C、点 $(8 π, 0)$ 是函数 $f (x)$ 的一个对称中心 D、方程 $f (x) + lg x = 0$ 有5个实数解

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11、设 $f (x) = \ln (\frac{2}{1 - x} + a)$ 是奇函数，则使 $f (x) < 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$

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12、“ $- 2 < a < 2$ ”是“函数 $f (x) = lg (x^{2} - a x + 1)$ 的值域为 $R$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知函数 $g (x) = \frac{x^{2} + 7 x + a}{x}$ 在 $[3, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围（）

A、 $(- \infty, - 3]$ B、 $(- \infty, 9]$ C、 $[0, 3]$ D、 $[0, 9]$

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14、下列函数中在 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增，周期为 $π$ 且为奇函数的是（）

A、 $y = cos (2 x + \frac{π}{2})$ B、 $y = sin 2 x$ C、 $y = tan x$ D、 $y = sin (2 x + \frac{π}{2})$

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15、已知 $α$ 是第二象限的角， $P (x, 8)$ 为其终边上的一点，且 $\sin α = \frac{4}{5}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 6$ B、 $\pm 6$ C、 $\pm \frac{32}{3}$ D、 $- \frac{32}{3}$

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16、已知集合 $A = \{- 2, 0, 1, sin 1, 3\}, B = {x | - 2 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 0, 1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{0, 1, sin 1\}$ D、 $\{- 2, 0, 1, sin 1\}$

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17、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，若 $T_{4} = T_{7}$ ，则 $a_{6} =$ ．

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18、铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形 $A B C D$ 的边长为2，圆 $O$ 的半径为3，正方形 $A B C D$ 的中心与圆 $O$ 的圆心重合，动点 $P$ 在圆 $O$ 上，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为（）

A、1 B、3 C、2 D、4

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19、命题 $p$ ：“ $\forall x \in [1, 2]$ ， $x^{2} + x - a \geq 0$ ”，命题 $q$ ：“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 3 x + 2 - a = 0$ ”.

(1)、写出命题 $p$ 的否定命题 $\neg p$ ，并求当命题 $\neg p$ 为真时，实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $p$ 和 $q$ 中有且只有一个是真命题，求实数 $a$ 的取值范围．

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20、一元二次方程 $a x^{2} + 4 x + 3 = 0$ 有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（）

A、 $a < 0$ B、 $a < - 1$ C、 $a < 1$ D、 $- 3 < a < - 2$

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