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相关试卷

1、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是非零向量， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，且 $|\vec{a}| = 3 \sqrt{2}, |\vec{b}| = 6$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量；

(2)、求 $|2 \vec{a} - 3 \vec{b}|$ .

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2、已知 $sin (α - β) cos α - cos (α - β) sin α = \frac{3}{5}, β$ 是第三象限角，则 $sin (β + \frac{5 π}{4}) =$ .

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3、 $\sqrt[3]{216} + lg 8 + 3 lg 5 =$ .

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4、“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上.马同学站在阿基米德的肩膀上，研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，如下图，半径为R的球分别内切于圆柱，圆台，圆锥.设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为 $V_{0}, V_{1}, V_{2}, V_{3}$ .设球，圆柱，圆台，圆锥的表面积分别为 $S_{0}, S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，则以下关系正确的是（）

A、 $\frac{V_{0}}{V_{1}} = \frac{S_{0}}{S_{1}} = \frac{2}{3}$ B、 $\frac{V_{0}}{V_{2}} > \frac{S_{0}}{S_{2}}$ C、 $\frac{V_{0}}{V_{3}} > \frac{S_{0}}{S_{3}}$ D、 $\frac{V_{0}}{V_{3}}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$

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5、下列命题正确的是（）

A、若事件 $A, B, C$ 两两互斥，则 $P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C)$ 成立. B、若事件 $A, B, C$ 两两独立，则 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ 成立. C、若事件 $A, B$ 相互独立，则 $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 也相互独立. D、若 $P (A) > 0, P (B) > 0$ ，则事件 $A, B$ 相互独立与 $A, B$ 互斥不能同时成立.

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6、下列函数中，可以用零点存在定理判断函数在区间 $[2, 6]$ 上存在零点的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x - 4}$ B、 $f (x) = ln x + 2 x - 6$ C、 $f (x) = x {(x - 3)}^{2}$ D、 $f (x) = sin \frac{x}{2} + cos \frac{x}{2}$

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7、已知正四面体 $A B C D$ 中， $E$ 是棱 $A C$ 上一点，过 $E$ 作平面 $α$ ，满足 $A B$ $//$ $α, C D$ $//$ $α$ ，若 $A B 、 C D$ 到平面 $α$ 的距离分别是3和9，则正四面体 $A B C D$ 的外接球被平面 $α$ 截得的截面面积为（）

A、 $99 π$ B、 $100 π$ C、 $103 π$ D、 $108 π$

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8、已知函数 $f (x) = sin (ω x), ω > 0$ ，将 $f (x)$ 图象上所有点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{6}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 4]$ B、 $(0, 2]$ C、 $(0, \frac{3}{2}]$ D、 $(0, 1]$

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9、如图，计划在两个山顶 $M, N$ 间架设一条索道.为测量 $M, N$ 间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高 $M C = 100 \sqrt{3} m, N B = 50 \sqrt{2} m$ ，在 $B C$ 同一水平面上选一点 $A$ ，在 $A$ 处测得山顶 $M, N$ 的仰角分别为 $60^{\circ}$ 和 $30^{\circ}$ ，且测得 $∠ M A N = 45^{\circ}$ ，则 $M, N$ 间的距离为（）

A、 $100 m$ B、 $50 \sqrt{6} m$ C、 $100 \sqrt{2} m$ D、 $100 \sqrt{3} m$

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10、如图是一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和随机事件 $A, B$ ，其中 $n (Ω) = 30, n (A) = 15, n (B) = 10, n (A \cup B) = 20$ ，则 $P (\bar{A B}) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11、已知 $a$ ， $b \in R$ ， $p$ ： $a < b$ ， $q$ ： $a^{2} > b (2 a - b)$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、若 $(2 + i) \cdot z = 5 i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、2

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13、设集合 $A = \{x ∣ 2 < x^{2} < 10\}, B = \{1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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14、若两个正实数 $x$ ， $y$ 满足 $4 x + y = 2 x y$ ，且不等式 $x + \frac{y}{4} < m^{2} - m$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 < m < 2$ B、 $m < - 2$ ，或 $m > 1$ C、 $- 2 < m < 1$ D、 $m < - 1$ ，或 $m > 2$

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15、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = - x^{2} - 2 x$ ．

(1)、画出函数 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、求函数 $f (x) (x \in R)$ 的解析式（写出求解过程）．

(3)、求 $y = f (x)$ ， $x \in [- 4, 2]$ 的值域．

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16、 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边的中点， $A D = 1$ .

(1)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ，求 $\sin C$ 的值；

(2)、若 $B C = 4$ ，求 $cos ∠ B A C$ 的取值范围．

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17、已知函数 $f (x) = a \sin x \cos x - \sqrt{3} a \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} a + b (a \neq 0)$

(1)、写出函数的单调递减区间；

(2)、设 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的最值.

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18、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, - 1)$ ．

(1)、若 $|\vec{c}| = 3 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

(3)、若 $\vec{d} = (3, 4)$ ，求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{d}$ 上的投影向量（用坐标表示）.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知底面 $A B C D$ 为平行四边形，点 $E$ 为棱 $P D$ 的中点．
（1）求证： $B C //$ 平面 $P A D$ ；
（2）设平面 $E B C \cap$ 平面 $P A D = E F$ ，点 $F$ 在 $P A$ 上，求证： $F$ 为 $P A$ 的中点．

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20、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $P$ 为 $B C$ 的中点， $Q$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点 $A$ ， $P$ ， $Q$ 的平面截该正方体所得截面记为 $S$ ，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）

①当 $C Q = \frac{1}{2}$ 时， $S$ 为等腰梯形.
②当 $C Q = \frac{3}{4}$ 时， $S$ 与 $C_{1} D_{1}$ 的交点 $R$ 满足 $C_{1} R_{1} = \frac{1}{3}$ .
③当 $\frac{3}{4} < C Q < 1$ 时， $S$ 为四边形.
④当 $C Q = 1$ 时， $S$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

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