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相关试卷

1、直线 $l$ 的方向向量是 $\vec{a} = (1, 2, 0)$ ，若 $l ⊥ α$ ，则平面 $α$ 的法向量可以是（）

A、 $\vec{n} = (1, 2, 0)$ B、 $\vec{n} = (- 2, - 4, 0)$ C、 $\vec{n} = (2, - 1, 0)$ D、 $\vec{n} = (2, - 1, 2)$

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2、已知椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 有公共焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的一个公共点 $P$ 恰在以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆上， $e_{1}$ ， $e_{2}$ 分别为椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 的离心率，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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3、暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点 $A (2, 4)$ ，经直线 $x + y = 0$ 反射后经过点 $B (4, 2)$ ，则入射光线所在直线方程为（）

A、 $x - 2 y = 0$ B、 $x + 2 y = 0$ C、 $2 x + y = 0$ D、 $2 x - y = 0$

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4、过 $A (a, 1)$ ， $B (1, - a)$ 两点的直线倾斜角为 $120 °$ ，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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5、若方程 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $m$ ， $n$ 的一组可能取值是（）

A、 $m = 2$ ， $n = 1$ B、 $m = 1$ ， $n = 2$ C、 $m = 1$ ， $n = \frac{1}{2}$ D、 $m = \frac{1}{2}$ ， $n = \frac{1}{3}$

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6、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 1, 0)$ ， $\vec{b} = (2, 2, k)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $k =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、以上都不对

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7、已知直线 $l_{1} : k x - y - 3 - 4 k = 0 (k \in R)$ 过定点 $P$ ．

(1)、求过点 $P$ 且在两坐标轴上截距相等的直线 $l_{2}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 交 $x$ 轴正半轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴负半轴于点 $B$ ．
（ⅰ）求实数 $k$ 的取值范围；
（ⅱ）若三角形 $A B O$ 的面积为 $S$ （ $O$ 为坐标原点），求 $S$ 的最小值并求此时直线 $l_{1}$ 的方程．

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8、已知圆 $C$ 的圆心在 $x$ 轴上，并且过 $A (- 1, 1)$ 和 $B (1, 3)$ 两点．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l : y = k x + 2$ 被圆 $C$ 截得的弦长 $L = 2 \sqrt{2}$ ，求直线的 $l$ 方程．

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9、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A = C B = 1$ ， $∠ B C A = 90^{\circ}$ ， $A A_{1} = 2$ ， $M, N$ 分别是 $A_{1} B_{1}, A_{1} A$ 的中点．

(1)、求 $\cos ⟨\vec{B A_{1}}, \vec{C B_{1}}⟩$ 的值；

(2)、求证： $B N$ ⊥平面 $C_{1} M N$ ．

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10、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 3$ ， $l$ 为过 $M (1, \sqrt{2})$ 的圆的切线，A为 $l$ 上任一点，过A作圆 $N : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是．

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11、已知 $\vec{a} = (1, 3, 1)$ ， $\vec{b} = (2, 2, 1)$ ，求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量（用坐标表示）

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12、已知两条直线 $2 x + 3 y + 1 = 0$ 和 $x - 3 y + 4 = 0$ 相交，则这两条直线的交点坐标为；

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13、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y + 4 = 0$ ，直线 $l : (a + 1) x + a y + 1 = 0$ ，则下列选项正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(- 1, 1)$ B、直线 $l$ 与圆 $C$ 可能相切 C、直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长的最小值为4 D、当 $a = 3$ 时，圆 $C$ 上到直线 $l$ 距离为2的点恰有三个

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14、已知两条直线 $l_{1}, l_{2}$ 方程分别为 $3 x + 4 y + 12 = 0$ 与 $a x + 8 y - 11 = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ ，则 $a = 6$ B、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = \frac{32}{3}$ C、若 $a \neq 6$ ，则直线 $l_{1}, l_{2}$ 一定相交 D、若 $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ ，则两条平行直线之间的距离为 $\frac{5}{2}$

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15、已知点 $A (2, - 3), B (- 5, - 2)$ ，过点 $P (- 1, 1)$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ （含端点）有公共点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{4}{3}, \frac{3}{4}]$ B、 $(- \infty, - \frac{3}{4}] \cup [\frac{4}{3}, + \infty)$ C、 $[- \frac{3}{4}, \frac{4}{3}]$ D、 $(- \infty, - \frac{4}{3}] \cup [\frac{3}{4}, + \infty)$

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16、直线 $\sqrt{3} x + y + 2023 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $- \frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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17、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $A$ 为椭圆短轴的上端点， $P$ 为椭圆上异于 $A$ 点的任一点，若 $P$ 点到 $A$ 点距离的最大值仅在 $P$ 点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知 $b = 1$ ．

(1)、若 $a = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，判断椭圆 $Γ$ 是否为“圆椭圆”；

(2)、若椭圆 $Γ$ 是“圆椭圆”，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若椭圆 $Γ$ 是“圆椭圆”，且 $a$ 取最大值， $Q$ 为 $P$ 关于原点 $O$ 的对称点， $Q$ 也异于 $A$ 点，直线 $A P$ 、 $A Q$ 分别与 $x$ 轴交于 $M$ 、 $N$ 两点，试问以线段 $M N$ 为直径的圆是否过定点？证明你的结论．

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 是等边三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ B C D = ∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 2 C D = 2 B C = 4 \sqrt{2}$ ， M是棱PC上的点，且 $\vec{P M} = λ \vec{P C}$ ， $0 \leq λ \leq 1$ .

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面PAD；

(2)、设二面角 $M - B D - C$ 的大小为 $θ$ ，若 $\cos θ = \frac{\sqrt{13}}{13}$ ，求 $λ$ 的值.

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19、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $A A_{1} C_{1} C$ 是边长为4的菱形， $A B = B C = \sqrt{13}$ ，点 $D$ 为棱 $A C$ 上动点（不与 $A$ 、 $C$ 重合），平面 $B_{1} B D$ 与棱 $A_{1} C_{1}$ 交于点 $E$ ．

(1)、求证： $B B_{1} / /$ $D E$ ；

(2)、已知 $B A_{1} = \sqrt{21}, \frac{A D}{A C} = \frac{3}{4}, ∠ A_{1} A C = 60 °$ ，求直线 $A B$ 与平面 $B_{1} B D E$ 所成角的正弦值．

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20、已知直线 $l_{1} : x + y + 2 = 0, l_{2} : x + y = 0$ ，直线l过点 $(10, - 4)$ 且与 $l_{1}$ 垂直.

(1)、求直线l的方程；

(2)、设l分别与 $l_{1}, l_{2}$ 交于点A，B，O为坐标原点，求过三点A，B，O的圆的方程.

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