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相关试卷

1、下列函数中，在区间(1， $\frac{3}{2}$ )上为增函数的是（）

A、 $y = 2^{x + 1}$ B、 $y = {log}_{2} (x - 1)$ C、 $y = x |x - 2|$ D、 $y = tan x$

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2、我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深 $C D = \sqrt{2} - 1$ ，锯道 $A B = 2$ ，则图中 $\overset{⌢}{A C B}$ 的长度为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ C、 $π$ D、 $\sqrt{2} π$

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3、《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为 $\frac{π}{4}$ 米，肩宽约为 $\frac{π}{8}$ 米，“弓”所在圆的半径约为 $1.25$ 米，则掷铁饼者双手之间的距离约为 $(\sqrt{2} \approx 1.41)$ （）

A、1.01米 B、1.76米 C、2.04米 D、2.94米

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4、已知 $a = \lg 2$ ， $b = \lg 3$ ，则 $\log_{36} 5 =$ （）

A、 $\frac{2 a + 2 b}{1 - a}$ B、 $\frac{1 - a}{2 a + b}$ C、 $\frac{2 - 2 a}{a + b}$ D、 $\frac{1 - a}{2 a + 2 b}$

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5、函数 $f (x) = \frac{\ln |x|}{x^{2} + 1}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6、已知 $0 < x < 1$ ，若 $a = {log}_{2} x, b = 2^{x}, c = x^{2}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \cos π x, x < 0 \\ - \sqrt{x}, x \geq 0 \end{cases}$ ，则 $f [f (\frac{4}{9})] =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8、“ $θ = \frac{3 π}{4}$ ”是 $\sqrt{2} \cos (\frac{π}{2} + θ) = \tan θ$ 的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、求值：

(1)、 ${(7 + 4 \sqrt{3})}^{0} + 32^{\frac{3}{5}} - 2 \times {(\frac{1}{8})}^{- \frac{2}{3}} + \sqrt[3]{2} \times {(4^{- \frac{1}{3}})}^{- 1}$ ；

(2)、 $e^{2 \ln 3} - \log_{4} 9 \cdot \log_{27} 8 + \lg 4 + \lg 25$ ．

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10、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (4^{x} + 2^{x + 1} + 1) - x$ ，若 $f (2 a - 1) < f (a + 3)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为．

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11、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数， $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x)$ ， $g (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 单调递减，则（）

A、 $f (f (1)) < f (f (2))$ B、 $f (g (1)) < f (g (2))$ C、 $g (f (1)) < g (f (2))$ D、 $g (g (1)) > g (g (2))$

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12、定义 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.例如： $[1.2] = 1 ， [- 1, 2] = - 2$ ，则（）

A、 $[x] + [y] = [x + y]$ B、 $\forall n \in Z ， [x + n] = [x] + n$ C、 $f (x) = x - [x]$ 是偶函数 D、 $f (x) = x - [x]$ 是增函数

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13、函数 $f (x) = \frac{3 \ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x)}{1 + | x |}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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14、已知 $a = 2^{\frac{1}{3}}$ ， $b = 3^{\frac{1}{4}}$ ， $c = \log_{3} 2$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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15、存在函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x \in R$ 都有（）

A、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ B、 $f (|x + 1|) = x^{2}$ C、 $f (x^{2}) = |x + 1|$ D、 $f (x^{2} + 2 x) = |x + 1|$

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16、设全集 $U = \{x \in N^{*} |x \leq 8\}$ ，集合 $A = \{1, 3, 5, 8\}$ ， $B = \{5, 6, 7, 8\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cup (∁_{U} B)$ =（）

A、 $\{1, 2, 3, 4, 5, 8\}$ B、 $\{1, 2, 3, 4, 6, 7\}$ C、 $\{5, 6, 7, 8\}$ D、 $\{2, 4\}$

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17、设 $n \geq 3$ ，对于数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ ，若对任意 $k \in \{1, 2, \dots, n - 1\}$ ， $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}$ 与 $a_{k + 1} + a_{k + 2} + \dots + a_{n}$ 均为非负数或者均为负数，则称数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 为强数列.

(1)、判断数列 $\sin 0$ ， $\sin \frac{π}{2}$ ， $\sin π$ ， $\sin \frac{3 π}{2}$ ， $\sin 2 π$ 与数列 $\cos 0$ ， $\cos \frac{π}{2}$ ， $\cos π$ ， $\cos \frac{3 π}{2}$ ， $\cos 2 π$ 分别是否为强数列；

(2)、若存在公比为负数的等比数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{2025}$ ，使得它为强数列，求公比q的取值范围；

(3)、设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 为强数列，且数列中正数与负数交替出现（不出现0），证明：一定可以从数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 中选出连续三项，不改变它们在原数列中的顺序，它们三项构成一个强数列.

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18、已知函数 $f (x) = 3 x^{2} - 8 \sin (x + φ)$ ，其中 $|φ| \leq π$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 是偶函数，求 $φ$ ；

(2)、当 $φ = 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的零点个数；

(3)、若 $\forall x \geq 0$ ， $f (x) \geq 0$ ，求 $φ$ 的取值范围.

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19、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 C D = 2$ ， $A D = 4$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $P D ⊥ C D$ ， E为AB的中点，M为CE的中点.

(1)、证明： $P M ⊥ A B$ ；

(2)、若 $P A = \sqrt{15}$ ， N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{6}$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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20、已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ 的焦点为F，抛物线C上点 $M (2, y_{0})$ 满足 $|M F| = 3$ .

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、设点 $D (- 1, 0)$ ，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明： $x = 1$ 是 $∠ A F B$ 的角平分线.

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