如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为一边在第一象限作等边．点为轴的正半轴上一动点，连接．以为边在第一象限内作等边．直线交轴于点．

1. (2024八上·白城期末) 如图，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为一边在第一象限作等边 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上一动点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．以 $\text{[math]}$ 为边在第一象限内作等边 $\text{[math]}$ ．直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 点坐标为 $\text{[math]}$ 时，求证：直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的垂直平分线；
3. （2）随着点 $\text{[math]}$ 的移动， $\text{[math]}$ 的长是否会发生变化？若没有变化，求点 $\text{[math]}$ 的长；若有变化，请说明理由．