2024年中考数学热点探究二十一动态及轨迹型问题

更新时间：2024-04-27 浏览次数：44 类型：二轮复习

一、选择题（每题2分，共20分）

1. (2023九上·吉林开学考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿着 $\text{[math]}$ 匀速向终点 $\text{[math]}$ 运动，则线段 $\text{[math]}$ 的值大小变化情况是（）

A . 一直增大 B . 一直减小 C . 先减小后增大 D . 先增大后减少

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2. (2022九上·江北期末) 如图，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，动点 $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 的外接圆 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .当动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动时，线段 $\text{[math]}$ 长度的变化情况为（）

A . 一直不变 B . 一直变大 C . 先变小再变大 D . 先变大再变小

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3. (2023九上·绥阳期中) 如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，若OM的长为整数，则这样的点M有几个？（）

A . 4 B . 5 C . 7 D . 9

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4. (2024九下·定海开学考) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点A坐标为 $\text{[math]}$ ，点B坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的半径为4（O为坐标原点），点C是 $\text{[math]}$ 上一动点，过点B作直线 $\text{[math]}$ 的垂线 $\text{[math]}$ ， P为垂足，点C在 $\text{[math]}$ 上运动一周，则点P运动的路径长等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在第一象限，将直线 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴向右平移 $\text{[math]}$ 个单位.若平移后的直线与边 $\text{[math]}$ 有交点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024九上·丰台期中) 两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C′重合在一起，将三角板A'B'C'绕直角顶点C'按逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），如图所示．以下结论错误的是（　　）

A . 当α＝30°时，A'C与AB的交点恰好为AB中点 B . 当α＝60°时，A'B'恰好经过点B C . 在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA'＝BB' D . 在旋转过程中，始终存在AA'⊥BB'

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7. (2023九上·郑州经济技术开发月考) 如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 做匀速运动，到达点 $\text{[math]}$ 后停止运动，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 以同样的速度做匀速运动，到达点 $\text{[math]}$ 后也停止运动，已知点 $\text{[math]}$ 同时开始运动，连接 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数图象如图2所示，则图中 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023九上·仙居开学考) 如图是一张矩形纸片 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，把 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在对角线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处 $\text{[math]}$ 把 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则矩形 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2024九上·义乌期末) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一点，将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 折叠至 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 恰好与正方形 $\text{[math]}$ 的中心为圆心的 $\text{[math]}$ 相切，则折痕 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . 5 C . $\text{[math]}$ D . 以上都不对

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10. (2023·东莞模拟) 在平面直角坐标系中，等边 $\text{[math]}$ 如图放置，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，每一次将 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，同时每边扩大为原来的 $\text{[math]}$ 倍，第一次旋转后得到 $\text{[math]}$ ，第二次旋转后得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，依次类推，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题（每题2分，共12分）

11. (2023·绍兴模拟) 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．动点E在 $\text{[math]}$ 边上，以点E为圆心，以 $\text{[math]}$ 为半径作弧，点G是弧上一动点．
1. （1）如图①，若点E与点A重合，且点F在 $\text{[math]}$ 上，当 $\text{[math]}$ 与弧相切于点G时，则 $\text{[math]}$ 的值是；
2. （2）如图②，若 $\text{[math]}$ 连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别取 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点P、Q ，连接 $\text{[math]}$ ， M为 $\text{[math]}$ 的中点，则CM的最小值为．
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12. (2023·自贡) 如图，直线 $\text{[math]}$ 与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线 $\text{[math]}$ 上的一动点，动点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 取最小值时， $\text{[math]}$ 的最小值是．

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13. (2023九上·中牟开学考) 如图，等边三角形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 的方向以 $\text{[math]}$ 的速度运动，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 的方向以 $\text{[math]}$ 的速度运动，且动点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动 $\text{[math]}$ 那么运动到第秒时，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 以及 $\text{[math]}$ 的边上一点 $\text{[math]}$ 恰能构成一个平行四边形．

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14. (2023·吉安模拟) 对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点 $\text{[math]}$ 经1次斜平移后的点的坐标为 $\text{[math]}$ ．已知点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ．如图，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一点，点 $\text{[math]}$ 关于点 $\text{[math]}$ 的对称点为点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为点 $\text{[math]}$ ．若点 $\text{[math]}$ 由点 $\text{[math]}$ 经 $\text{[math]}$ 次斜平移后得到，且点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为．

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15. (2023·泗县模拟) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 将该正方形沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处，折痕 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 的长为；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，随着折痕 $\text{[math]}$ 位置的变化， $\text{[math]}$ 的最小值为．
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16. (2024九上·简阳期末) 如图1，有一张矩形纸片 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕 $\text{[math]}$ 进行折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 处，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上（如图2），则 $\text{[math]}$ ；然后将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转到 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 时旋转停止，则 $\text{[math]}$ 的长度为．

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三、解答题（共7题，共76分）

17. 如图，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点M以 $\text{[math]}$ 的速度从A点出发，沿 $\text{[math]}$ 向点B运动，同时动点N以 $\text{[math]}$ 的速度从点D出发，沿DA向点A运动，设运动的时间为 $\text{[math]}$ 秒（ $\text{[math]}$ ）．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 的面积等于矩形 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ ？
2. （2）是否存在某一时刻 $\text{[math]}$ ，使得以A、M、N为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似?若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．
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18. (2023九上·盘州期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．动点P从点B出发，在 $\text{[math]}$ 边上以每秒 $\text{[math]}$ 的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在 $\text{[math]}$ 边上以每秒 $\text{[math]}$ 的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒 $\text{[math]}$ ．
1. （1）用含t的代数式表示 $\text{[math]}$ 的长．
2. （2）连结 $\text{[math]}$ ，如图①所示．当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似时，求t的值．
3. （3）过点P作 $\text{[math]}$ 于D ，连结 $\text{[math]}$ ，如图②所示．当 $\text{[math]}$ 时，直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长．
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19. (2023九上·石家庄月考) 如图1和图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 自点 $\text{[math]}$ 出发以每秒1个单位长度的速度沿射线 $\text{[math]}$ 方向平移，同时点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发向点 $\text{[math]}$ 运动，速度是每秒2个单位长度，若直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 三点，连接 $\text{[math]}$ ，设运动时间为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）图中 $\text{[math]}$ ＝；
2. （2）求当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ ；
3. （3）当四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形时，则 $\text{[math]}$ ＝；
4. （4）在边 $\text{[math]}$ 或其延长线上取一点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的右侧），使得 $\text{[math]}$ ，直接写出：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值为多少?
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20. 在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为原点， $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，顶点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在第一象限，矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在第二象限 $\text{[math]}$ 将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴向右平移，得到矩形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对应点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 设 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 点，求点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）若矩形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为 $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$ 如图 $\text{[math]}$ ，当矩形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分为五边形时， $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，试用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ，并直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围 $\text{[math]}$ 直接写出结果即可 $\text{[math]}$ ．
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21. (2023·阜新) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中，线段 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转到 $\text{[math]}$ 处，旋转角为 $\text{[math]}$ ，点F在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，当 $\text{[math]}$ 时，
  ①求 $\text{[math]}$ 的大小（用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）．
  ②求证： $\text{[math]}$ ．
2. （2）如图2，取线段 $\text{[math]}$ 的中点G ，连接 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，请直接写出在线段 $\text{[math]}$ 旋转过程中（ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ 面积的最大值．
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22. (2023九上·七星期中) 如图，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，在射线 $\text{[math]}$ 上以每秒1个单位长度的速度运动，另一动点 $\text{[math]}$ 与动点 $\text{[math]}$ 同时出发，在射线 $\text{[math]}$ 上以每秒2个单位长度的速度运动，设点P、Q运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．
1. （1）填空：直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式为：， $\text{[math]}$ 是三角形；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式，并写出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）在（2）的条件下，是否存在 $\text{[math]}$ 值，使得以点B ， P ， Q为顶点的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，求出 $\text{[math]}$ 值，并直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由．
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23. (2023九上·崂山期中) 如图甲，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，动点P从点B出发，沿BA方向向点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1个单位/s，连接PQ ．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
1. （1）设△APQ的面积为S ，则S＝；（用含t的代数式表示）
2. （2）如图乙，连接PC ，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP’C ，当四边形PQP’C为菱形时，求t的值；
3. （3）当△APQ是等腰三角形时，求t的值？
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四、实践探究题（共6题，共42分）

24. (2023九上·商河期中) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中，∠ABC=90°， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转，记旋转角为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）问题发现
  $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
2. （2）拓展探究
  试判断：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
3. （3）问题解决
  $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转至 $\text{[math]}$ 三点在同一条直线上时，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长．
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25. (2024九上·长春汽车经济技术开发期末) 【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题：

点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 内一定点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点，确定点 $\text{[math]}$ 的位置，使线段 $\text{[math]}$ 最长．
1. （1）【问题解决】以下是小华的方法：
  如图 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为所求．
  理由如下：在 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ 异于点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
  接下来只需证明 $\text{[math]}$ ．
  请你补全小华的证明过程．
2. （2）【类比结论】点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 外一定点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点，设 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 长度的最大值为，线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值为 $\text{[math]}$ 用含 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$
3. （3）【拓展延伸】如图 $\text{[math]}$ ，在半圆 $\text{[math]}$ 中，直径 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在半圆 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 运动的过程中，线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值为．
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26. (2023九上·道里开学考) 综合实践：在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E是边 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 对折，点B落在点F处．
1. （1）如图1，若点F恰好落在矩形的对角线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长度是；
2. （2）如图2，若点F恰好落在矩形的对角线BD上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点H ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度；
3. （3）如图3，若点F恰好落在矩形一边 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的长度是；
4. （4）如图4，若点F恰好落在矩形一边 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度；
5. （5）如图5，若点F恰好落在矩形一边 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 上，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G ，过点G作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 于点K ，点P为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，把线段 $\text{[math]}$ 绕点E逆时针旋转，使点P落在 $\text{[math]}$ 上的点Q处，求证： $\text{[math]}$ ．
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27. (2023九上·朝阳月考) 综合与实践
[问题情境]
如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B'，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．
1. （1） [活动猜想]如图2，当点B'与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？并给予证明．
2. （2） [问题解决]如图1，当AB=4， AD=8，BF=3时，连结B'C，则B'C的长为
3. （3） [深入探究]如图3，请直接写出AB与BC满足什么关系时，始终有A'B'与对角线AC平行？
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28. (2023·扬州) 【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含 $\text{[math]}$ 的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ．
【操作探究】
如图1，先将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合，再将 $\text{[math]}$ 绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为 $\text{[math]}$ ，旋转过程中 $\text{[math]}$ 保持不动，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
3. （3）如图2，取 $\text{[math]}$ 的中点F，将 $\text{[math]}$ 绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．
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29. (2022九上·长顺期末) 数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片 $\text{[math]}$ 折叠，使顶点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处（点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合），折痕为 $\text{[math]}$ ，折叠后 $\text{[math]}$ 边落在 $\text{[math]}$ 的位置， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）观察操作结果，在图1中找到一个与 $\text{[math]}$ 相似的三角形，并证明你的结论；
2. （2）当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 的什么位置时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 面积的比是 $\text{[math]}$ ？请写出求解过程；
3. （3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片 $\text{[math]}$ 折叠，使顶点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处（点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合），折痕为 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9∶25？请写出求解过程.
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