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相关试卷

1、已知 $y = f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = - \frac{1}{4^{x}} + \frac{1}{2^{x}}$ ，则此函数的值域为（）

A、 $[- \frac{1}{4}, \frac{1}{4}]$ B、 $(- \frac{1}{4}, \frac{1}{4})$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{4}] \cup [\frac{1}{4}, + \infty)$

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2、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{a} + 2 \vec{b}| = 2$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、1

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3、已知 $z = - 2 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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4、已知集合 $A = {x | \frac{x - 4}{x + 3} > 0}$ ，集合 $B = {x | a - 2 \leq x \leq 2 a + 1}$ ．
（1）当 $a = 3$ 时，求 $A$ 和 $(∁_{R} A) \cup B$ ；
（2）若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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5、 $2 x^{2} + x y + y^{2} = 1$ ，则 $x^{2} + x y + 2 y^{2}$ 的最小值为.

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6、“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、一只蚂蚁从正方形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为 $\frac{1}{3}$ ，逆时针的概率为 $\frac{2}{3}$ ，设蚂蚁经过 $n$ 步回到 $A$ 点的概率为 $p_{n}$ .
（1）求 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ；
（2）设经过 $n$ 步到达 $C$ 点的概率为 $q_{n}$ ，求 $p_{n} + q_{n}$ 的值；
（3）求 $p_{n}$ .

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8、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $M (3, \sqrt{2})$ ，且右焦点为 $F (2, 0)$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $P$ ，若 $\vec{P A} = m \vec{A F}$ ， $\vec{P B} = n \vec{B F}$ ，求证： $m + n$ 为定值.

(3)、在（2）的条件下，若点 $Q$ 是点 $P$ 关于原点 $O$ 的对称点，求证：三角形 $Q A B$ 的面积 $S_{△ Q A B} > \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， M为BP的中点， $A M / /$ 平面 $C D P$ ．

(1)、求证： $B C = 2 A D$ ；

(2)、若 $P A ⊥ A B$ ， $A B = A P = A D = C D = 1$ ， $∠ C B M = ∠ C P M$ ．求平面 $C D P$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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10、已知函数 $f (x) = (x^{2} + 2) - k \ln (x + 1)$ （k为常数）．

(1)、当 $k = 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上存在极值，求实数k的取值范围．

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11、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c - 2 b \cos A = b$ ．

(1)、证明： $A = 2 B$ ；

(2)、若 $c = 5 \sqrt{7}$ ， $\cos B = \frac{3}{4}$ ，求a的值．

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12、已知点A是函数 $y = 2 \ln x$ 图象上的动点，点B是函数 $y = \frac{x^{2}}{2}$ 图象上的动点，过B点作x轴的垂线，垂足为M，则 $|A B| + |B M|$ 的最小值为．

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13、寒假里 $5$ 名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，共有种不同的坐法，其中恰有一人坐对与自己车票相符座位的概率为．（用数字作答）

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14、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 3)$ ， $\vec{b} = (m, 1)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则正数 $m$ 的值为.

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15、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x - 2$ ，则（）

A、存在实数 $x_{0}$ 使得 $f^{'} (x_{0}) = f (x_{0})$ B、当 $a = 2$ 时， $f (x)$ 有三个零点 C、点 $(0, - 2)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、若曲线 $y = f (x)$ 有两条过点 $(- 1, 0)$ 的切线，则 $f (a) = 2$

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16、椭圆C： $\frac{x^{2}}{m^{2} + 1} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为A，直线 $A F_{1}$ 与椭圆C的另一个交点为B，若 $∠ F_{1} A F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则（）

A、椭圆C的焦距为2 B、 $△ A B F_{2}$ 的周长为8 C、椭圆C的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $△ B F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$

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17、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，设函数 $f (x) = (x - a) \log_{\frac{1}{2}} (x + b)$ ，若 $f (x) \leq 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、8 B、4 C、2 D、1

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18、质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件 $A =$ “这两个数都是素数”，事件 $B =$ “这两个数不是孪生素数”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{6}{7}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{8}{9}$

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19、已知一个圆柱的轴截面是正方形，一个圆锥与该圆柱的底面半径及侧面积均相等，则圆柱与圆锥的体积之比为（）

A、 $9 : \sqrt{15}$ B、 $6 : \sqrt{15}$ C、 $4 : \sqrt{15}$ D、 $3 : \sqrt{15}$

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20、已知角 $α$ ， $β$ 满足 $\tan α \tan β = - 3$ ， $\cos (α + β) = \frac{1}{2}$ ，则 $\cos (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{3}{8}$ D、 $\frac{1}{8}$

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