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相关试卷

1、正方形 $A C D E$ 与等腰直角三角形 $A C B$ 所在的平面互相垂直，且 $A C = B C = 2$ ， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $F$ 、 $G$ 分别是线段 $A E$ 、 $B C$ 的中点，则 $C D$ 与 $G F$ 所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{6}$

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2、已知 $n$ 个数 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则数据 $3 x_{1}, 3 x_{2}, \dots, 3 x_{n}$ 的平均数和方差分别为（）

A、 $\bar{x}$ ， $2 s^{2}$ B、 $3 \bar{x}$ ， $s^{2}$ C、 $3 \bar{x}$ ， $2 s^{2}$ D、 $3 \bar{x}$ ， $9 s^{2}$

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3、我市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度（单位： $km/h$ ）如下表：
上班时间
18
20
21
26
27
28
30
32
33
35
36
40
下班时间
16
17
19
22
25
27
28
30
30
32
36
37
则上、下班时间行驶时速的中位数分别为（）

A、28与28.5 B、29与28.5 C、28与27.5 D、29与27.5

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4、如图，已知边长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $E$ 为线段 $C D_{1}$ 的中点，则直线 $A E$ 与平面 $A_{1} B C D_{1}$ 所成角的正切值为

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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5、设复数 $z = 1 - i$ （i是虚数单位），则 $\frac{1 + i}{z} - z =$

A、 $- 1$ B、 $1 - 2 i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $- 1 + 2 i$

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6、已知平面向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ， $\vec{c} = (- 5, 1)$ . 若 $(\vec{a} + k \vec{b}) // \vec{c}$ ，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{11}{4}$ D、 $- \frac{11}{4}$

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7、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ， $B_{1}$ ， $B_{2}$ 分别为C的上、下顶点，直线 $l_{1}$ ： $y = k x + 1$ 与C相交于M，N两点，直线 $M B_{1}$ 与 $N B_{2}$ 相交于点P.

(1)、求C的方程；

(2)、证明点P在定直线 $l_{2}$ 上，并求直线 $M B_{1}$ ， $N B_{2}$ ， $l_{2}$ 围成的三角形面积的最小值.

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8、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + (1 - a) x - a \ln x (a \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a > 0$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[1, e]$ 上的最大值．

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9、如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面BB₁C₁C是矩形，M，N分别为BC，B₁C₁的中点，P为AM上一点，过B₁C₁和P的平面交AB于E，交AC于F.
（1）证明：AA₁∥MN，且平面A₁AMN⊥EB₁C₁F；
（2）设O为△A₁B₁C₁的中心，若AO∥平面EB₁C₁F，且AO=AB，求直线B₁E与平面A₁AMN所成角的正弦值.

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10、某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在[70，80）内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在[90，100]内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示.
若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，其中 $σ \approx 15, μ$ 为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：

(1)、若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；

(2)、若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列和均值.
附：若随机变量X服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9974$ .

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{1} = 1, a_{3} = a_{2} + 2 a_{1}, S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{\sqrt{S_{n} S_{n + 1}}} (n \in N^{*})$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < 1$ .

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12、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $b = 2$ ， $\cos 2 A + (4 + \sqrt{3}) \sin (B + C) = 2 \sqrt{3} + 1$ ，点P是 $△ A B C$ 的重心，且 $A P = \frac{2 \sqrt{7}}{3}$ ，则 $a =$ .

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13、已知函数 $y = \sqrt{x}$ 的图象与函数 $y = a \ln x$ 的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为.

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14、在二项式 ${(x - \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{7}$ 的展开式中 $x$ 的系数为．

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15、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P (\sqrt{2}, 1)$ 在椭圆内部，点 $Q$ 在椭圆上，椭圆 $C$ 的离心率为 $e$ ，则以下说法正确的是（）

A、离心率 $e$ 的取值范围为 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、当 $e = \frac{\sqrt{2}}{4}$ 时， $|Q F_{1}| + |Q P|$ 的最大值为 $4 + \frac{\sqrt{6}}{2}$ C、存在点 $Q$ ，使得 ${\vec{Q F}}_{1} \cdot \vec{Q F_{2}} = 0$ D、 $\frac{1}{|Q F_{1}|} + \frac{1}{|Q F_{2}|}$ 的最小值为 $1$

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16、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4}) + 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{8}$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{8}, 1)$ 中心对称 D、 $f (x)$ 的最大值为1

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17、已知直线 $y = a x + b (a \in R, b > 0)$ 是曲线 $f (x) = e^{x}$ 与曲线 $g (x) = ln x + 2$ 的公切线，则 $a + b =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $e$ D、 $\frac{1}{e}$

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18、正四面体的棱长为 $3$ ，点 $M$ ， $N$ 是它内切球球面上的两点， $P$ 为正四面体表面上的动点，当线段 $M N$ 最长时， $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最大值为（）

A、 $2$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $3$ D、 $\frac{5}{2}$

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19、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，点 $A$ 是 $C$ 上一点，点 $B$ 满足 $2 \vec{B F_{1}} = - 3 \vec{B F_{2}}$ ， $∠ F_{1} A F_{2} = 4 ∠ F_{1} A B = 120 °$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{13}$

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20、设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A=“从甲袋中任取1球是红球”，事件B=“从乙袋中任取2球全是白球”，则下列说法正确的是（）

A、 $P (B) = \frac{9}{14}$ B、 $P (A B) = \frac{6}{7}$ C、 $P (A| B) = \frac{1}{5}$ D、事件A与事件B相互独立

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