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相关试卷

1、如图，在棱长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动，则（）

A、平面 $P B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ B、三棱锥 $D_{1} - A P C$ 的体积为定值 C、异面直线 $A_{1} P$ 与 $A D_{1}$ 所成角的取值范围是 $(0, \frac{π}{3}]$ D、当 $P$ 为 $B C_{1}$ 的中点时，三棱锥 $B_{1} - A C D_{1}$ 的外接球的表面积为 $24 π$

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2、在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 6$ ， $b = 3 \sqrt{2}$ ， $B = 30^{\circ}$ ，则角 $A$ 的值可能为（）

A、 $45^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $135^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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3、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 的延长线上，且 $\vec{B C} = 3 \vec{C D}$ .若 $\overset{⃑}{A O} = x \overset{⃑}{A B} + (1 - x) \overset{⃑}{A C}, - \frac{1}{3} < x < 0$ ，则点 $O$ 在（）

A、线段 $B C$ 上 B、线段 $C D$ 上 C、线段 $A C$ 上 D、线段 $A D$ 上

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4、已知三棱锥 $O - A B C$ 的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心， $∠ A O B = 120 °$ ，当△ $Δ A O C$ 与 $Δ B O C$ 的面积之和最大时，三棱锥 $O - A B C$ 的体积为

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5、如图， $P$ 为平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点， $E$ 为 $A D$ 的中点， $F$ 为 $P C$ 上一点，当 $P A$ ∥平面 $E B F$ 时， $\frac{P F}{F C} =$ ( )

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6、若复数 $z$ 满足 $z \cdot (1 + i) = i + 3$ （ $i$ 是虚数单位），则 $\bar{z}$ 的模长等于（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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7、如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 2 D C$ ， $E$ 为 $B C$ 边上一点， $\vec{B C}$ $= 3 \vec{E C}$ ， $F$ 为 $A E$ 的中点，则 $\vec{B F}$ ＝（）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$

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8、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| =2$ ， $|\vec{b}| =1$ ， $\vec{a} ⋅ (\vec{a} − \vec{b}) =3$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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9、已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，且 $b \cos A + a \cos B = c (3 \cos A - 1)$ .

(1)、求 $\cos A$ ；

(2)、若 $\overset{⃑}{B A} \cdot \overset{⃑}{A C} = - 10$ ，求△ABC的面积S的值．

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，面 $P A B ⊥$ 面 $A B C D$ ， $P A ⊥ A B, A B / / C D$ 且 $C D = 2, A B = 1, B C = 2 \sqrt{2}, P A = 1, A B ⊥ B C$ ， $N$ 为 $P D$ 的中点.
（1）求证： $A N / /$ 平面 $P B C$ ；
（2）求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段 $P D$ 上是否存在一点 $M$ ，使得直线 $C M$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{26}}{26}$ ，若存在，求出 $\frac{D M}{D P}$ 的值；若不存在，说明理由.

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11、为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题．
分组
频数
频率
$50.5 \sim 60.5$
4
0.08
$60.5 \sim 70.5$

0.16
$70.5 \sim 80.5$

0.20
$80.5 \sim 90.5$
16

$90.5 \sim 100.5$

合计
50
1.00

(1)、填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；

(2)、补全频数分布直方图；

(3)、若成绩在75.5~85.5分的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？

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12、已知复数z=3+bi（b $\in$ R），且（1+3i）·z纯虚数
（1）求复数z
（2）若w=z·(2+i)，求复数w的模|w|

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13、已知 $|\overset{⃑}{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $(2 \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}) \cdot (\overset{⃑}{a} + 3 \overset{⃑}{b}) = - 34$ .

(1)、求 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、当 $x$ 为何值时，向量 $x \overset{⃑}{a} + \vec{b}$ 的模长为 $\sqrt{7}$ ？

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14、鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经 $90 °$ 榫卯起来.若正四棱柱的高为 $8$ ，底面正方形的边长为 $2$ ，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留 $π$ ）

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15、在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B, C$ 所对的边分别为 $a ， b, c$ ，角 $C$ 等于 $60^{\circ}$ ，若 $a = 4, b = 2$ ，则 $c$ 的长为.

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16、设向量 $\vec{a} = (3, x), \vec{b} = (y, 9)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x y =$ .

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17、（多选）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线统计图．根据该折线统计图，下列结论正确的是（）

A、年接待游客量逐年增加 B、各年的月接待游客量高峰期大致都在8月 C、2017年1月至12月月接待游客量逐月增加 D、各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

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18、如图，在正六边形 $A B C D E F$ 中，点 $O$ 为其中心，则下列判断正确的是（）

A、 $\vec{A B} = \vec{O C}$ B、 $\vec{A B} // \vec{D E}$ C、 $|\vec{A D}| = |\vec{B E}|$ D、 $\vec{A D} = \vec{F C}$

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19、设点 $M$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，则点 $M$ 是 $△ A B C$ 的重心 B、若 $\vec{A M} = 2 \vec{A B} - \vec{A C}$ ，则点 $M$ 在边 $B C$ 的延长线上 C、若 $O$ 在 $△ A B C$ 所在的平面内，角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，满足以下条件 $2 \vec{O A} + 2 \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{△ O B C} = \frac{2}{5} S_{△ A B C}$ D、若 $\vec{A M} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，且 $x + y = \frac{1}{2}$ ，则 $△ M B C$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的 $\frac{1}{2}$

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20、在△ABC中，D为AC的中点，E为线段CB上靠近B的三等分点，则 $\overset{⇀}{D E} =$

A、 $\frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{6} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{6} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{1}{6} \overset{⇀}{A B} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{2}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{6} \overset{⇀}{A C}$

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分组	频数	频率
$50.5 \sim 60.5$	4	0.08
$60.5 \sim 70.5$		0.16
$70.5 \sim 80.5$		0.20
$80.5 \sim 90.5$	16
$90.5 \sim 100.5$
合计	50	1.00