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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{5} + a_{9} = 14$ ， $a_{2} = - 3$ ，则 $S_{8} =$ ．

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2、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将函数 $f (x)$ 的图象先关于 $x$ 轴对称，然后再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{3}$ B、 $g (- x) = g (x - \frac{π}{6})$ C、函数 $g (x)$ 为奇函数 D、函数 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{2}]$ 上单调递增

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3、过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 作直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，过点 $A$ 作抛物线的切线 $P A$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|A B|$ 的最小值为 $4$ B、当 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ 时， $|A B| = \frac{10}{3}$ C、以线段 $A B$ 为直径的圆与直线 $x = - 1$ 相切 D、当 $|A B|$ 最小时，切线 $P A$ 与准线的交点坐标为 $(- 1, 0)$

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4、若 $a + b + c = 4$ ， $3 a + 2 b - c = 0$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5、2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟教授等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”（命名为“九章”是为了纪念中国古代最早的数学专著《九章算术》），求解数学算法高斯玻色取样只需200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上衰二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽 $A D = 3$ 丈，长 $A B = 4$ 丈，上棱 $E F = 2$ 丈， $E F$ 与平面 $A B C D$ 平行． $E F$ 与平面 $A B C D$ 的距离为1丈，则它的体积是（）

A、4立方丈 B、5立方丈 C、6立方丈 D、8立方丈

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6、函数 $f (x) = (\frac{2}{1 + e^{x}} - 1) \cos x$ 图象的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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7、已知 $A (1, 0)$ ， $B (- 1, 0)$ ，动点 $M$ 满足 $| M A | - | M B | = 2$ ，则点 $M$ 的轨迹方程是

A、 $y = 0$ （ $x \leq - 1$ ） B、 $y = 0$ （ $x \geq 1$ ） C、 $y = 0$ （ $- 1 \leq x \leq 1$ ） D、 $y = 0$ （ $| x | \geq 1$ ）

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8、下列命题中正确的是( )

A、一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数 B、对一组数据 $x_{i} (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，如果将它们变为 $x_{i} + C (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，其中 $C \neq 0$ ，则平均数和标准差均发生改变 C、有甲､乙､丙三种个体按 $3 : 1 : 2$ 的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30 D、若随机变量X服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ， $P (X < 5) = 0.86$ ，则 $P (X \leq - 1) = 0.14$

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9、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 都为非零向量，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ， $|\vec{a} + 3 \vec{b}| = |2 \vec{a} - \vec{b}|$ ，则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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10、下列四个命题中，是真命题的为（）

A、任意 $x \in R$ ，有 $x^{2} + 3 < 0$ B、任意 $x \in N$ ，有 $x^{2} > 1$ C、存在 $x \in Z$ ，使 $x^{5} < 1$ D、存在 $x \in Q$ ，使 $x^{2} = 3$

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11、已知复数 $z$ 满足 $z = 1 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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12、如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为 $8 cm$ 的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？最省材料为多少？

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13、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a sin A - b sin B + (b - c) sin C = 0$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{\sqrt{3} (2 b + c)}{a}$ 的取值范围.

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14、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面垂直， $A C = 9$ ， $B C = 12$ ， $A B = 15$ ， $A A_{1} = 12$ ，点D是AB的中点．
（1）求证： $A C ⊥ B_{1} C$ ；
（2）求三棱锥 $C_{1} - C D B_{1}$ 的体积．

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15、某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶7元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶1.5元的价格当天全部处理完.据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位： $° C$ ）有关，如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间 $[20, 25)$ ，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
最高气温
$[10, 15)$
$[15, 20)$
$[20, 25)$
$[25, 30)$
$[30, 35)$
$[35, 40)$
天数
2
14
34
27
9
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 $y$ （单位：元），若该超市在六月份每天的进货量均为450瓶，写出 $y$ 的所有可能值，并估计 $y$ 大于零的概率.

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16、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，满足 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = \sqrt{3}$ .

(1)、若 $\vec{a}$ $/ /$ $\vec{b}$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $30 °$ ，求 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 夹角的余弦值.

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17、如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则 $(\overset{⃑}{P A} + \overset{⃑}{P B}) \cdot \overset{⃑}{P C}$ 的最小值为 .

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18、下列数据的70%分位数为．
20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22.

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19、设向量 $\overset{⇀}{a} =(\sqrt{3},1), \overset{⇀}{b} =(\sqrt{3}, x)$ ，且 $\overset{⇀}{a}$ ⊥ $\overset{⇀}{b}$ ，则向量 $\overset{⇀}{b}$ 的模为

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20、某中学四位同学利用假期到一贫困村参加社会实践活动，感受 $2020$ 年该村精准扶贫及新农村建设的变化.经过实地调查显示，该村 $2020$ 年的经济收入增加了一倍．实现翻番，精准扶贫取得惊人成果．为更好地了解该村的经济收入变化情况，为后期精准扶贫方向提供决策参考，四位同学统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
四位同学依据上述饼图，分别得出以下四个结论，其中结论中正确的是（）

A、精准扶贫及新农村建设后，种植收入减少 B、精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C、精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D、精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

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最高气温	$[10, 15)$	$[15, 20)$	$[20, 25)$	$[25, 30)$	$[30, 35)$	$[35, 40)$
天数	2	14	34	27	9	4