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相关试卷

1、在正八面体 $M - A B C D - N$ 中，所有棱长均为1，点 $O$ 为正方形 $A B C D$ 的中心，点 $P$ 为正八面体内切球球面上的任意一点，下列说法正确的是（）

A、正八面体内切球的表面积 $\frac{2 π}{3}$ B、正八面体的体积为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\vec{P M} \cdot \vec{P A}$ 的范围是 $[\frac{1 - \sqrt{6}}{6}, \frac{1 + \sqrt{6}}{6}]$ D、若 $∠ P A B = α$ ， $∠ P A D = β$ ，二面角 $B - A P - D$ 的平面角为 $φ$ ，则 $\tan α \tan β \tan φ$ 为定值

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2、抛出一枚质地均匀的硬币n次，得到正反两面的概率相同．事件 $A : n$ 次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中最多有一次正面朝上，下列说法正确的是（）

A、当 $n = 2$ 时，A，B相互独立 B、当 $n = 3$ 时，A，B相互独立 C、 $n \geq 2$ 时， $P (A) = \frac{2^{n} - 2}{2^{n}}$ D、 $n \geq 2$ 时， $P (B) = \frac{n - 1}{2^{n}}$

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3、定义，不超过 $x$ 的最大整数称为 $x$ 的整数部分，记作 $[x]$ ， $x - [x]$ 为 $x$ 的小数部分，记作 ${x}$ ，这一规定最早为数学家高斯所用，因此 $y = [x]$ 称为高斯函数， $y = x - [x]$ 称为小数函数，下列说法正确的是（）

A、 $[- 3.2] = - 3$ B、函数 $f (x) = 2 x {x} - x - 1$ 所有零点和为0 C、 $f (x) = [\frac{3^{x + 2}}{1 + 3^{x}} + 2]$ 的值域为 ${x | 2 \leq x < 11, x \in Z}$ D、 $[x] = [y]$ 是 $|x - y| < 1$ 的充要条件

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4、设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，动点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，点 $A$ 是直线 $4 x - 5 y - 12 = 0$ 上的动点，则 $|P A| - |P F|$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{16 \sqrt{41}}{41}$ B、 $\frac{16 \sqrt{41}}{41}$ C、 $\frac{16 \sqrt{41}}{41} - 4$ D、 $4 - \frac{16 \sqrt{41}}{41}$

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5、已知 $\frac{4 \tan \frac{π}{12}}{1 + \tan^{2} \frac{π}{12}} \cos α \sin (β + \frac{π}{3}) = 1$ ，则 $\tan (β - α) =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $1$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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6、若正实数 $a, b$ 满足 $(a + 1) (b + 2) = 9$ ，则 $a + b$ 的最小值为（）

A、9 B、6 C、3 D、2

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2,$ 则 $a_{5} =$ （）

A、 $162$ B、 $161$ C、 $160$ D、 $159$

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8、若向量 $\vec{a} = (3, 4)$ ，单位向量 $\vec{b}$ 与向量 $\vec{a}$ 垂直，则 $\cos ⟨\vec{b}, \vec{a} - \vec{b}⟩ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{26}}{26}$ B、 $\frac{\sqrt{26}}{26}$ C、 $- \frac{\sqrt{26}}{13}$ D、 $\frac{\sqrt{26}}{13}$

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9、若复数 $z$ 满足 $\frac{z}{z + 1} = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $0$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10、 $A = {x | x^{2} - 2 x + 1 < 0 ， x \in R}$ ， $B = {y | y^{2} - y + 1 = 0, y \in R}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${x | x > 1}$ C、 ${x | x < 0}$ D、 ${1, 2}$

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11、已知 $O$ 为坐标原点，动点 $M$ 在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 上，动点 $N$ 满足 $\vec{O N} = \sqrt{3} \vec{O M}$ ，记点 $N$ 的轨迹为 $E$

(1)、求轨迹 $E$ 的方程；

(2)、在轨迹 $E$ 上是否存在点 $T$ ，使得过点 $T$ 作椭圆 $C$ 的两条切线互相垂直？若存在，求点 $T$ 的坐标：若不存在，请说明理由：

(3)、过点 $M$ 的直线 $y = k x + m (m \neq 0)$ 交轨迹 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，射线 $O M$ 交轨迹 $E$ 于点 $P$ ，射线 $M O$ 交椭圆 $C$ 于点 $Q$ ，求四边形 $A P B Q$ 面积的最大值.

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12、掷两颗骰子，观察掷得的点数．

(1)、设A：掷得的两个点数之和为偶数，B：掷得的两个点数之积为偶数，判断A、B是否相互独立．并说明理由；

(2)、已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望．

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13、已知二次函数 $f (x) = m x^{2} - 2 x - 3,$ 关于实数 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集为 $[- 1, n]$ .
(1)当 $a > 0$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $: a x^{2} + n + 1 > (m + 1) x + 2 a x;$
(2)是否存在实数 $a \in (0,1),$ 使得关于 $x$ 的函数 $y = f (a^{x}) - 3 a^{x + 1} (x \in [1,2])$ 的最小值为 $- 5 ?$ 若存在，求实数 $a$ 的值；若不存在，说明理由.

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14、已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) - \frac{m}{x + 1}, g (x) = x + \ln \frac{x}{m} (m > 0)$ ，且 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = 0$ ，则 $\frac{x_{2} (x_{1} + 1)}{e^{m - 1}}$ 的最大值为.

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15、已知函数 $f (x) = 3 \log_{2} (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ ，正数 $a, b$ 满足 $f (a) + f (3 b - 1) = 0$ ，则 $\frac{3 b + a}{a b}$ 的最小值为．

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16、已知函数 $f (x) = a e^{x} - \ln x$ 在区间 $(1, 2)$ 上单调递增，则 $a$ 的最小值为．

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17、下列式子中最小值为4的是（）

A、 $\sin^{2} x + \frac{4}{\sin^{2} x}$ B、 $2^{x} + 2^{2 - x}$ C、 $8 + \log_{2} (2 x) \cdot \log_{2} \frac{x}{8}$ D、 $\frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{1}{\cos^{2} x}$

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18、设 $a = \frac{1}{5}, b = 2 \ln (\sin \frac{1}{10} + \cos \frac{1}{10}), c = \frac{6}{5} \ln \frac{6}{5}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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19、设 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \sqrt{| x - a |} + \sqrt{| x + a |}$ ，若 $g (x) = f (x) - b$ 恰有三个不同的零点，且 $b$ 是其中的一个零点，则实数 $b$ 的值为（）

A、 $\frac{8}{5}$ B、 $\frac{16}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、1

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20、在同一直角坐标系内，存在一条直线 $l$ ，使得函数 $y = f (x)$ 与函数 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $l$ 对称，就称函数 $y = g (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的“轴对称函数”．已知函数 $f (x) = e^{x}$ （ $e$ 是自然对数的底数），则下列函数不是函数 $y = f (x)$ 的“轴对称函数”的是（）

A、 $y = 2 - e^{x}$ B、 $y = e^{2 - x}$ C、 $y = - e^{- x}$ D、 $y = \ln x$

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