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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是矩形， $M, N$ 分别为 $B C, P D$ 的中点，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $M N$ $/ /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、证明： $M N ⊥ A D$ .

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2、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 0), \overset{⃑}{b} = (- 1, 2)$ ．

(1)、若 $| \overset{⃑}{c} | = 1$ ，且 $\overset{⃑}{c} ∥ (\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b})$ ，求 $\overset{⃑}{c}$ ；

(2)、若 $2 t \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}$ 与 $3 \overset{⃑}{a} + t \overset{⃑}{b}$ 互相垂直，求实数t的值．

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3、据第七次全国人口普查的数据显示，中国目前正处于轻度老龄化阶段，解决养老难问题也是政府重要的民生工程.某市共有户籍人口800万人，其中60岁及以上的老人约有120万人.为了了解老人们的健康状况，该市从老人中随机抽取600人并对他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理､不健康尚能自理､基本健康､健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，制成如图所示的统计图.

(1)、若采用分层抽样的方法从样本中健康状况为不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？

(2)、试估算该市80岁及以上老人占该市户籍人口的百分比.

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4、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 4$ ， $A B = 2$ ，则直线 $A_{1} B$ 与直线 $B_{1} C$ 所成角的正切值为．

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $△ A B C$ 的外接圆半径为1，若 $A : B : C = 1 : 1 : 4$ ，则 $△ A B C$ 的周长为．

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6、已知甲､乙两位射手朝同一个目标射击，甲击中目标的概率为0.8，乙击中目标的概率为0.6，甲､乙两位射手的射击相互独立，记 $A =$ “目标未被击中”，则 $P (\bar{A}) =$ .

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7、在下列情况的三角形中，有两个解的是（）

A、 $a = \sqrt{5}, b = 4, A = 30^{\circ}$ B、 $b = 11, c = 10, B = 60^{\circ}$ C、 $a = 3, c = 1, A = 90^{\circ}$ D、 $a = 12, b = 16, A = 45^{\circ}$

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8、已知 $P (A) = 0.3, P (B) = 0.7, P (A B) = 0.1$ ，则关于事件 $A$ 与事件 $B$ ，下列说法正确的有（）

A、事件 $A$ 与 $B$ 可能相互独立 B、事件 $A$ 与 $B$ 一定不互斥 C、 $P (A \cup B) = 0.9$ D、 $P (\bar{A}) = P (B)$

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9、下列命题错误的是（）

A、 $| 2 - i | = \sqrt{5}$ B、 $i^{2021} = i$ C、若 $a > b$ ，则 $a + i > b + i$ D、若 $z \in C$ ，则 $z^{2} \geq 0$

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10、在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是对角线 $A C$ 上靠近点 $C$ 的三等分点，点 $F$ 在 $B E$ 上，若 $\vec{A F} = x \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{6}{7}$

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11、在连续六次数学考试中，甲､乙两名同学的考试成绩情况如图，则（）

A、甲同学最高分与最低分的差距低于30分 B、乙同学的成绩一直在上升 C、乙同学六次考试成绩的平均分高于120分 D、甲同学六次考试成绩的方差低于乙同学

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12、盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，已知某盲盒产品共有2种玩偶.假设每种玩偶出现的概率相等，小明购买了这种盲盒3个，则他集齐2种玩偶的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、一平面截一球得到半径为 $\sqrt{7}$ 的圆面，球心到这个平面的距离为3，则该球的体积为（）

A、 $\frac{256 π}{3}$ B、 $32 π$ C、 $16 π$ D、 $\frac{32 π}{3}$

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14、已知复数 $z_{1} = - 1 + 3 i, z_{2} = a + b i^{3} (a, b \in R)$ 且 $z_{1} = z_{2}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $a + b =$ （）

A、－4 B、－3 C、－2 D、0

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15、在直角坐标系 $x O y$ 中，过椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点的直线与 $E$ 截得的线段长的取值范围是 $[3, 4]$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、已知曲线 $C : x^{m} + y^{m} = 1 (x, y, m > 0)$ 的切线 $l$ 被坐标轴所截的线段长为定值.
（i）求 $l$ 与 $C$ 截得的线段长；
（ii）求 $l$ 与 $E$ 截得的线段长的取值范围.

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16、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{2} = 2, S_{n} = \frac{n (1 + a_{n})}{2}$ .令 $b_{n} = a_{n}^{\frac{1}{a_{n + 1}}}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、当 $n \in N^{*}$ 时， $b_{n} \leq b_{k}$ ，求正整数 $k$ ；

(3)、数列 $\{b_{n}\}$ 中是否存在相等的两项？若存在，求所有的正实数 $x$ ，使得 $\{b_{n}\}$ 中至少有两项等于 $x$ ；若不存在，请说明理由.

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17、已知 $Ω$ 是棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体 $A B C D$ ，设 $Ω$ 的四个顶点到平面 $α$ 的距离所构成的集合为 $M$ ，若 $M$ 中元素的个数为 $k$ ，则称 $α$ 为 $Ω$ 的 $k$ 阶等距平面， $M$ 为 $Ω$ 的 $k$ 阶等距集.

(1)、若 $α$ 为 $Ω$ 的1阶等距平面且1阶等距集为 $\{a\}$ ，求 $a$ 的所有可能值以及相应的 $α$ 的个数；

(2)、已知 $β$ 为 $Ω$ 的4阶等距平面，且点 $A$ 与点 $B, C, D$ 分别位于 $β$ 的两侧.若 $Ω$ 的4阶等距集为 $\{b, 2 b, 3 b, 4 b\}$ ，其中点 $A$ 到 $β$ 的距离为 $b$ ，求平面 $B C D$ 与 $β$ 夹角的余弦值.

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18、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a cos C + \sqrt{5} a sin C = b + c$ .

(1)、求 $tan A$ ；

(2)、求 $\frac{b c}{a^{2}}$ 的取值范围.

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19、已知函数 $f (x) = x^{4} - (a + b) x + a b$ ，其中 $- 1 < a < b < 1$ .

(1)、若 $a = 0, b = \frac{1}{2}$ ，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、证明： $f (x)$ 至少有两个零点.

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20、四个村庄 $A, B, C, D$ 之间建有四条道路 $A B, B C, C D, D A$ .在某个月的30天中，每逢单数日道路 $A B, C D$ 开放， $B C, D A$ 封闭维护，每逢双数日道路 $B C, D A$ 开放， $A B, C D$ 封闭维护.一位游客起初住在村庄 $A$ ，在该月的第 $k (1 ⩽ k ⩽ 30)$ 天，他以 $\frac{1}{k}$ 的概率沿当天开放的道路去往相邻村庄投宿，以 $1 - \frac{1}{k}$ 的概率留在当前村庄，并且他在这30天里的选择是相互独立的.则第30天结束时该游客住在村庄 $B$ 的概率为.

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