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相关试卷

1、根据下表数据，通过最小二乘法求得 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为： $\hat{y} = 0.3 x + a$ ，则 $a =$ （）
$x$
1
2
3
4
$y$
0.6
0.8
1.1
1.5

A、0.2 B、0.25 C、0.3 D、1

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2、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，且 $F_{1}, F_{2}$ 与短轴的一个端点 $Q$ 构成一个等腰直角三角形，点 $P (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆 $E$ 上，过点 $F_{2}$ 作互相垂直且与 $x$ 轴不重合的两直线 $A B, C D$ 分别交椭圆 $E$ 于 $A, B, C, D$ ，且 $M, N$ 分别是弦 $A B, C D$ 的中点.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、求证：直线 $M N$ 过定点；

(3)、求 $△ M N F_{2}$ 面积的最大值.

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} - \cos \frac{n π}{2} + 2 \sin \frac{n π}{2} (n \in N^{*}) .$

(1)、求 $a_{2}, a_{3}$ .

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、设 $\{n (a_{n} - 2^{n})\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{m} = 2024 (m \in N^{*})$ ，求 $m$ .

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $△ D C P$ 是等边三角形， $∠ D C B = ∠ P C B = \frac{π}{4}$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $D P$ 和 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、求 $C M$ 与平面 $P A D$ 所成角的正弦值.

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5、本学期初，某校为检验高三学生网络学习的效果，对全校高三学生进行期初数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 五组，得到如图所示频率分布直方图．

(1)、求图中 $a$ 的值；

(2)、估计该校高三学生期初数学成绩的平均数和85%分位数；

(3)、为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在 $[60, 70)$ 的概率．

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6、已知函数 $f (x) = ln x + x^{2} + a x + 2$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线的斜率为 $\frac{3}{2}$

(1)、求 $a$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值．

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7、如图，表面积为 $100 π$ 的球面上有四点 $S$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $△ A B C$ 是等边三角形，球心 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为3，若平面 $S A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，则三棱锥 $C - S A B$ 体积的最大值为．

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8、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = 4$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ， $A = 45^{\circ}$ ，则 $B =$ .

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9、 ${(\frac{1}{x} - 2 x)}^{6}$ 的展开式的第四项为.

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10、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{π}{3})$ B、满足 $f (x) > 1$ 的 $x$ 的取值范围为 $(k π, k π + \frac{π}{3})$ （ $k \in Z$ ） C、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到的图象的一条对称轴 $x = \frac{π}{3}$ D、函数 $f (x)$ 与 $g (x) = - 2 \cos 2 x$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称

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11、为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2023年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统计图如图所示，利用数据统计图估计，得到的结论正确的是（）

A、游客中，青年人是老年人的2倍多 B、老年人的满意人数是青年人的2倍 C、到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5% D、到该地旅游的游客满意人数超过一半

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12、设复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 + i}$ ，则（）

A、 $z$ 的实部为 $\frac{3}{2}$ B、 $\bar{z} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$ C、 $z$ 的虚部为 $\frac{1}{2} i$ D、 $|z| = 1$

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13、设函数 $f (x) = \{\begin{cases} e^{x} - 1, x > t \\ x^{2} + 3 x + 2, x \leq t \end{cases}$ ，若 $f (x)$ 恰有两个零点，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup [1, 2)$ C、 $[- 2, 1]$ D、 $[- 2, - 1) \cup [0, + \infty)$

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14、已知随机变量 $X$ 的概率分布如表则 $E (5 X + 4) =$ （）
$X$
1
2
4
$P$
$0.4$
$a$
$0.3$

A、1 B、 $2.2$ C、11 D、15

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15、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n - 1$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、43 B、46 C、37 D、36

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, t)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、5

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17、已知集合 $M = \{1, 2, 3, 4\}, N = \{3, 5\}$ ，则 $M \cap N$ 等于（）．

A、 $\{3\}$ B、 $\{1, 3\}$ C、 $\{2, 3, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A = A D = 4$ ， $A B = 2. M$ 是棱 $P D$ 上一点，且 $C M = 2 \sqrt{3}, A M ⊥$ 平面 $P C D$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $A C M$ 所成角的正弦值.

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19、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $b^{2} (\sin^{2} B - 3 \cos^{2} B) = - a (a + b)$ ，且 $\sin C = \sin 2 B$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求AC边上的中线长．

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20、读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图.
男生一周阅读时间频数分布表
小时
频数
$[0, 2)$
9
$[2, 4)$
25
$[4, 6)$
3
$[6, 8)$
3

(1)、由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数；

(2)、由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数 $\bar{z}$ ；

(3)、从一周课外阅读时间为 $[4, 6)$ 的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率.
（注：以各组的区间中点值代表该组的各个值）

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男生一周阅读时间频数分布表
小时	频数
$[0, 2)$	9
$[2, 4)$	25
$[4, 6)$	3
$[6, 8)$	3

$x$	1	2	3	4
$y$	0.6	0.8	1.1	1.5

$X$	1	2	4
$P$	$0.4$	$a$	$0.3$