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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $C$ 的一条渐近线的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ ，直线 $l : x = \frac{1}{2}$ 与 $x$ 轴的交点为 $H$ ，且 $3 \vec{H F_{1}} + 5 \vec{H F_{2}} = 0$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F_{2}$ 作斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，过点 $M$ 且与 $A B$ 垂直的直线交 $x$ 轴于点 $N$ ，求证： $\frac{| A B |}{|F_{2} N|}$ 为定值.

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2、如图， $A B C D$ 是边长为3的正方形， $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A F ∥ D E$ ， $D E = 3 A F$ ， $B E$ 与平面 $A B C D$ 所成角为60°．

(1)、求证：面 $A C E ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求二面角 $F - B E - D$ 的余弦值．

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3、某人新房刚装修完，为了监测房屋内空气质量的情况，每天在固定的时间测一次甲醛浓度（单位：mg/m³），连续测量了10天，所得数据绘制成散点图如下：用 $y_{i}$ 表示第 $i (i = 1, 2, \dots, 10)$ 天测得的甲醛浓度，令 $z_{i} = \ln y_{i}$ ，经计算得 $\sum_{i = 1}^{10} z_{i} = 12.8$ ， $\sum_{i = 1}^{10} i^{2} = 385$ ， $\sum_{i = 1}^{10} i z_{i} = 60$ .

(1)、由散点图可知， $y$ 与 $i$ 可用指数型回归模型进行拟合，请利用所给条件求出回归方程；（系数精确到0.01）

(2)、已知房屋内空气中的甲醛浓度的安全范围是低于0.08 mg/m³ ，则根据（1）中所得回归模型，该新房装修完第几天开始达到此标准？（参考数据： $\ln 0.08 \approx - 2.53$ ）
附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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4、在二项式 ${(\sqrt[6]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，二项式系数最大的项只有一项，且是第4项．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中所有有理项的系数之和；

(3)、把展开式中的项重新排列，求有理项互不相邻的排法种数．

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5、已知过点 $(0, 2)$ 的直线 $l$ 与直线 $l_{1} : m x + y + 1 = 0$ 平行，圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ ．

(1)、若直线 $l$ 为圆C的切线，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆C交于M，N两点，求 $△ C M N$ 面积的最大值，并求此时实数m的值．

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6、在锐角 $△ A B C$ 中， $\sin 2 B = \sqrt{3} \cos B, b = 1$ ．

(1)、求 $∠ B$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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7、过点 $M (1, 1)$ 作斜率为 $- \frac{1}{2}$ 的直线与椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 相交于A、B两点，若M是线段AB的中点，则 $\frac{a}{b}$ 的值为.

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8、校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，学生会将从6名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录、跳高记录、跳远记录工作，其中甲、乙2人不承担铅球记录工作，则不同的安排方法共有种．

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} - 7 n - 8$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的最小项的值为．

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10、已知随机变量 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，设函数 $f (x) = P (ξ \geq x + 2)$ ，且 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (- x) = 1$ ，则 $μ =$ .

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11、如图，四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $S A = A B$ ， $O$ 、 $P$ 分别是 $A C, S C$ 的中点， $M$ 是棱 $S D$ 上的动点，则（）

A、 $O M ⊥ A P$ B、存在点 $M$ ，使 $O M / /$ 平面 $S B C$ C、存在点 $M$ ，使直线 $O M$ 与 $A B$ 所成的角为 $30 °$ D、点 $M$ 到平面 $A B C D$ 与平面 $S A B$ 的距离和为定值

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12、设点 $P (x, y)$ 为圆 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ 上一点，已知点 $A (4, 0)$ ， $B (5, 0)$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $x + y$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ B、 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y$ 的最小值为 $- 8$ C、存在点 $P$ 使 $|P B| = \sqrt{2} |P A|$ D、过 $A$ 点作圆 $C$ 的切线，则切线长为 $\sqrt{15}$

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13、若直线 $l : \sqrt{3} x - y - 3 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 的纵截距为3 B、 $(1, \sqrt{3})$ 是直线 $l$ 方向向量 C、直线 $l$ 过点 $(\sqrt{3}, 0)$ D、 $(\sqrt{3}, - 1)$ 是直线 $l$ 的法向量

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14、双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{5}{2}$ ，实轴长为4， $C$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ .设O为坐标原点，若点P在C上，且 $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = - \frac{3}{4}$ ，则 $|O P| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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15、甲乙两人玩纸牌游戏，已知甲手中有两张10与三张5，乙手中有三张9与两张4.现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为（）

A、 $\frac{3}{100}$ B、 $\frac{21}{100}$ C、 $\frac{27}{100}$ D、 $\frac{9}{20}$

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16、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $\vec{O A}$ 上，且 $O M = 2 M A$ ，点 $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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17、掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件 $A_{1}$ ：红骰子的点数为 $2$ ， $A_{2}$ ：红骰子的点数为 $3$ ， $A_{3}$ ：两个骰子的点数之和为 $7$ ， $A_{4}$ ：两个骰子的点数之和为 $9$ ，则（）

A、 $A_{1}$ 与 $A_{2}$ 对立 B、 $A_{3}$ 与 $A_{4}$ 不互斥 C、 $A_{1}$ 与 $A_{3}$ 相互独立 D、 $A_{2}$ 与 $A_{4}$ 相互独立

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18、已知抛物线 $Γ : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 与抛物线 $Γ$ 相交于 $A, B$ 两点（其中 $A$ 点落在第一象限），若 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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19、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 3) = 0.6$ ，则 $P (1 < ξ < 2) =$ （）

A、0.4 B、0.3 C、0.2 D、0.1

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20、函数 $f (x)$ 的定义域为 $[1, + \infty)$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = f (n)$ ，则“函数 $f (x)$ 为减函数”是“数列 $\{a_{n}\}$ 为递减数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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