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相关试卷

1、下列命题是真命题的是（）

A、两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B、正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形 C、经过不共线的三个点的球有且只有一个 D、直棱柱的侧面是矩形

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2、后疫情时代，很多地方尝试开放夜市地摊经济，多个城市也放宽了对摆摊的限制．某商场经营者也顺应潮流准备在商场门前摆地摊．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地 $A O B$ 进行改造．如图所示，平行四边形OMPN区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点 $P$ 在弧AB上，点 $M$ 和点 $N$ 分别在线段 $O A$ 和线段 $O B$ 上，且 $O A = 90 cm$ ， $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ．记 $∠ P O B = θ$ ．

(1)、请写出顾客的休息区域OMPN的面积S关于 $θ$ 的函数关系式，并求当 $θ$ 为何值时，S取得最大值；

(2)、记 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，若 $t = x + μ y (μ > 0)$ 存在最大值，求 $μ$ 的取值范围．

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3、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面四边形 $A B C D$ 为正方形，顶点 $P$ 在底面的射影为线段 $A D$ 的中点 $O ， E$ 是 $P B$ 的中点， $A B = 2 ， P C = 3 ．$

(1)、求证： $O E / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求过点 $D ， O ， E$ 的平面截该棱锥得到两部分的体积之比．

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4、已知 $\sin (α + β) = \frac{4}{5} ， \sin (α - β) = \frac{3}{5}$
（Ⅰ）求 $\frac{\tan α}{\tan β}$ 的值；
（Ⅱ）若 $0 < β < α \leq \frac{π}{4}$ ，求 $\cos β$ 的值.

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5、已知椭圆 $M$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，焦距为4.

(1)、求椭圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与椭圆 $M$ 相切，且直线 $l_{1}$ 与直线 $l$ ： $x - y - 3 \sqrt{2} = 0$ 平行，求直线 $l_{1}$ 的斜截式方程.

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6、已知向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a}| = 3, |\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}| = 5$ ．

(1)、若 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = 0$ ，求| $\overset{⃑}{b}$ |的值；

(2)、若 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = 1$ ，求 $|2 \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}|$ 的值．

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7、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的向量， $\vec{O A} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ ， $\vec{O B} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b}$ ， $\vec{O C} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ ，若A，B，C三点共线，则实数 $λ$ ， $μ$ 满足．

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8、设函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的部分图象如图所示，且满足 $f (2) = 0$ ．则 $f (x)$ 的最小正周期为．

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9、正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各棱长均相等， $D$ 是 $A A_{1}$ 的中点， $M$ 、 $N$ 是线段 $B B_{1}$ 、 $C C_{1}$ 上的动点（含端点），且 $B M = C_{1} N$ ，当 $M$ 、 $N$ 运动时，下列结论正确的是（）

A、平面 $D M N ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ B、三棱锥 $A_{1} - D M N$ 的体积为定值 C、 $△ D M N$ 可能为直角三角形 D、平面 $D M N$ 与平面 $A B C$ 所成的锐二面角的范围是 $(0, \frac{π}{4}]$

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10、已知函数 $f (x) = {(\sin x + \cos x)}^{2} + \sqrt{3} \cos 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的一个对称中心 $(- \frac{π}{6}, 0)$ C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ 上有3个零点

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11、“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知 $A B = 1$ ，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（）

A、该半正多面体的体积为 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ B、该半正多面体过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点的截面面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、该半正多面体外接球的表面积为 $8 π$ D、该半正多面体的表面积为 $6 + 2 \sqrt{3}$

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12、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ， $|\vec{a} - 2 \vec{b}| = \sqrt{11}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(1, \sqrt{3})$ D、 $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$

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13、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，右顶点为 $A, M$ 为椭圆上一点，且 $∠ M F_{2} A = ∠ M A F_{2} = 2 ∠ M F_{1} A$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{33} - 5}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{17} - 4}{4}$

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14、科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功升至9 032米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图2所示，是该浮空艇的轴截面图，则它的体积约为（）
（参考数据： $9. 5^{2} \approx 90$ ， $9. 5^{3} \approx 857$ ， $315 \times 1 005 \approx 316 600$ ， $π \approx 3 . 14$ ）

A、 $9064 m^{3}$ B、 $9004 m^{3}$ C、 $8944 m^{3}$ D、 $8884 m^{3}$

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15、已知 $α$ 为锐角，且 $tan α + tan (\frac{π}{4} - α) = \frac{5}{3}$ ，则 $\frac{sin 2 α + 1}{cos 2 α} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、 $\frac{1}{3}$

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16、若复数 $(1 + a i) (3 - i)$ （i为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、i

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (- 3, 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .过点 $B (\frac{3}{2}, 0)$ 的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点（异于点 $A$ ）.直线 $A P, A Q$ 分别交直线 $x + 2 y - 9 = 0$ 于 $M, N$ 两点.

(1)、求证：直线 $A P$ 与直线 $A Q$ 的斜率之积为定值；

(2)、求 $△ A M N$ 面积的最小值.

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18、杭州第 $19$ 届亚运会，是继 $1990$ 年北京亚运会、 $2010$ 年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事. $2023$ 年 $9$ 月 $23$ 日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚 $7$ 点前登录该直播间的前 $N$ 名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这 $N$ 名观众中抽取 $15$ 名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这 $N$ 名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为 $X$ （幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为 $1$ 人）.

(1)、已知小杭是这前 $N$ 名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为 $\frac{5}{9}$ ，求 $N$ 的值；

(2)、当 $P (X = 20) = f (N)$ 取到最大值时，求 $N$ 的值.

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19、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形，且 $B D = \frac{1}{2} C D = 1, B D ⊥ C D . D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B F = \sqrt{3}, D E$ $∥$ $B F$ .点 $H, G$ 分别为线段 $D C, E F$ 上的动点，满足 $D H = E G = λ (0 < λ < 2)$ .

(1)、证明：直线 $G H$ $∥$ 平面 $B C F$ ；

(2)、是否存在 $λ$ ，使得直线 $G H$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{14}$ ？请说明理由.

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列，且满足 $a_{1} = - 1, a_{2} + b_{3} = 0, S_{n} = 2 a_{n} + b_{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{1} = b_{1}, c_{2 n} = c_{2 n - 1} + b_{1}, c_{2 n + 1} = c_{2 n} + a_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

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