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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 5)$ ， $\vec{b} = (4, λ)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{8}{5}$ C、10 D、 $- 10$

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2、下列与 $999^{°}$ 角终边相同的角为（）

A、 $- 91^{°}$ B、 $91^{°}$ C、 $- 81^{°}$ D、 $81^{°}$

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3、已知函数 $f (x) = a e^{x}$ ， $g (x) = \ln x + b (a, b \in R)$ .

(1)、当 $b = 1$ 时， $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数a的取值范围；

(2)、证明：当 $a = e^{- 1}$ ， $b < 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 总存在两条公切线；

(3)、若直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的两条公切线，且 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率之积为1，求a，b的关系式.

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4、如图，弧 $A E C$ 是半径为 $a$ 的半圆， $A C$ 为直径，点 $E$ 为弧 $A C$ 的中点，点 $B$ 和点 $C$ 为线段 $A D$ 的三等分点，平面 $A E C$ 外一点 $F$ 满足 $F B = F D = \sqrt{5} a$ ， $F E = \sqrt{6} a$ ．
（1）证明： $E B ⊥ F D$ ；
（2）已知点 $Q$ ， $R$ 为线段 $F E$ ， $F B$ 上的点，使得 $\vec{F Q} = λ \vec{F E}, \vec{F R} = λ \vec{F B}$ ，求当 $R D$ 最短时，平面 $B D E$ 和平面 $R Q D$ 所成二面角的正弦值．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 3 a_{n} - 3$ ， $b_{n} = 3 \log_{\frac{3}{2}} a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ .
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（2）记 $c_{n} = a_{n} - λ b_{n}^{2}$ ，若数列 $\{c_{n}\}$ 为递增数列，求 $λ$ 的取值范围.

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6、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C = \sqrt{7}, C D = 2 A D,$ $∠ A D C = \frac{2 π}{3} .$
（1）求 $∠ C A D$ 的正弦值；
（2）若 $∠ B A C = 2 ∠ C A D$ ，且△ $A B C$ 的面积是△ $A C D$ 面积的4倍，求 $A B$ 的长.

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7、已知点A(-1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是

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8、已知函数 $f (x) = - f^{'} (0) e^{x} + 2 x + 3$ ，点 $P$ 为曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线 $l$ 上的一点，点 $Q$ 在曲线 $y = \frac{x}{e^{x}}$ 上，则 $|P Q|$ 的最小值为．

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9、对勾函数 $f (x) = a x + \frac{b}{x} (a > 0, b > 0)$ 的图象可以由焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，因此对勾函数即为双曲线.已知O为坐标原点，下列关于函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ 的说法正确的是（）

A、渐近线方程为 $x = 0$ 和 $y = x$ B、 $y = f (x)$ 的对称轴方程为 $y = (\sqrt{2} + 1) x$ 和 $y = (1 - \sqrt{2}) x$ C、M，N是函数 $f (x)$ 图象上两动点，P为MN的中点，则直线MN，OP的斜率之积为定值 D、Q是函数 $f (x)$ 图象上任意一点，过点Q作切线交渐近线于A，B两点，则 $△ O A B$ 的面积为定值

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10、如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将 $△ A B M$ 沿直线AM翻折成 $△ A B_{1} M$ ，连接 $B_{1} D$ ， N为 $B_{1} D$ 的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A、不存在某个位置，使得 $C N ⊥ A B_{1}$ B、翻折过程中，CN的长是定值 C、若 $A B = B M$ ，则 $A M ⊥ B_{1} D$ D、若 $A B = B M = 1$ ，当三棱锥 $B_{1} - A M D$ 的体积最大时，其外接球的表面积是 $4 π$

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11、给出下列命题，其中正确命题为（）

A、随机变量 $ξ ~ B (n, p)$ ，若 $E (ξ) = 30$ ， $D (ξ) = 20$ ，则 $n = 90$ B、随机变量X服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ， $P (X > 1.5) = 0.34$ ，则 $P (X < 0.5) = 0.16$ C、一组数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 2 x + 3$ ，若 $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} = 30$ ，则 $\sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 63$ D、对于独立性检验，随机变量 $K^{2}$ 的观测值k值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大

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12、F₁、F₂分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点，过F₂作直线交椭圆于A、B两点，已知AF₁⊥BF₁ ， ∠ABF₁=30°，则椭圆的离心率为

A、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6} - \sqrt{3}$

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13、数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - a_{n} + 1$ ，记 $A_{n} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}$ ， $B_{n} = \frac{1}{a_{1}} \cdot \frac{1}{a_{2}} \cdot ... \cdot \frac{1}{a_{n}}$ ，则（）

A、 $A_{2024} + B_{2024} > 1$ B、 $A_{2024} + B_{2024} < 1$ C、 $A_{2024} - B_{2024} > \frac{1}{2}$ D、 $A_{2024} - B_{2024} < \frac{1}{2}$

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14、函数 $f (x) = 2 \sin π x - \sqrt{3 x - x^{2}}$ 所有零点的和等于（）

A、6 B、7.5 C、9 D、12

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15、三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（）

A、6种 B、10种 C、11种 D、12种

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16、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 3,$ 且 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 1$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的正弦值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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17、已知集合 $A = \{x |x^{2} + 2 x - 3 \leq 0, x \in Z\}$ ，集合 $B = \{x |\ln x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$

A、 $\{0\}$ B、 $\{1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\emptyset$

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18、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ ，过点 $(4, 0)$ 的直线 $l$ 交双曲线 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，且当 $l ⊥ x$ 轴时， $|M N| = 6$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、记双曲线 $C$ 的左右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，直线 $A_{1} M$ ， $A_{2} N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值.

(3)、探究圆 $E$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 1 = 0$ 上是否存在点 $S$ ，使得过 $S$ 作双曲线的两条切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 互相垂直.

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19、如图，四面体 $A B C D$ 中， $A D ⊥ C D, A D = C D, ∠ A D B = ∠ B D C$ ， E为 $A C$ 的中点．

(1)、证明：平面 $B E D ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、设 $A B = B D = 2, ∠ A C B = 60 °$ ，点F在 $B D$ 上，当 $△ A F C$ 的面积最小时，求 $C F$ 与平面 $A B D$ 所成的角的正弦值．

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20、函数 $f (x) = e^{λ x} - 4 \sin x + λ - 2$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线为 $y = a x - a - 3, a \in R$ .

(1)、求 $λ$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上零点的个数.

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