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相关试卷

1、函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 可以为（）

A、 $\frac{(e^{x} - 1) \sin x}{e^{x} + 1}$ B、 $\frac{(e^{x} - 1) \cos x}{e^{x} + 1}$ C、 $\frac{(e^{x} - 1) x^{3}}{e^{x} + 1}$ D、 $\frac{(e^{x} + 1) \cos x}{e^{x} - 1}$

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2、“ $1 < b < 2$ ”是“点 $B (0, b)$ 在圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2$ 内”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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3、若 $M = \{x \in N^{*} |- 2 \leq x \leq 3\}$ ， $N = \{0, 1, 2\}$ ，则 $M \cap N$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{0, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{1, 2\}$

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4、已知函数 $f (x) = x \ln x + 1$ ， $g (x) = \sin x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程；

(2)、证明：函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内有且只有一个极值点；

(3)、证明： $f (x) > g (x)$ .

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5、2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有 $p$ 的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为 $X$ .

(1)、若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且 $p = \frac{1}{3}$ ，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；

(2)、若一条信息有 $n (n > 1, n \in N^{*})$ 种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， …， $p_{n}$ ，则称 $H = f (p_{1}) + f (p_{2}) + \cdot \cdot \cdot + f (p_{n})$ （其中 $f (x) = - x {log}_{2} x$ ）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为 $X$ 的信息熵 $H$ ；

(3)、将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为 $Y$ （ $Y = 1$ ， 2，3，⋯， $n$ ， ⋯）.证明：当 $n$ 无限增大时， $Y$ 的数学期望趋近于一个常数.
参考公式： $0 < q < 1$ 时， $\lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0$ ， $\lim_{n \to + \infty} n q^{n} = 0$ .

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6、十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为 ${(1)}_{2}$ ， 2表示为 ${(10)}_{2}$ ， 3表示为 ${(11)}_{2}$ ， 5表示为 ${(101)}_{2}$ ，发现若 $n \in N_{+}$ 可表示为二进制表达式 ${(a_{0} a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{k - 1} a_{k})}_{2}$ ，则 $n = a_{0} \cdot 2^{k} + a_{1} \cdot 2^{k - 1} + \cdot \cdot \cdot + a_{k - 1} \cdot 2^{1} + a_{k}$ ，其中 $a_{0} = 1$ ， $a_{i} = 0$ 或 $1 (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, k)$ ．

(1)、记 $S (n) = a_{0} + a_{1} + \cdot \cdot \cdot + a_{k - 1} + a_{k}$ ，求证： $S (16 n + 3) = S (4 n + 3)$ ；

(2)、记 $I (n)$ 为整数 $n$ 的二进制表达式中的0的个数，如 $I (2) = 1$ ， $I (3) = 0$ ．
（ⅰ）求 $I (80)$ ；
（ⅱ）求 $\sum_{n = 1}^{255} 2^{I (n)}$ （用数字作答）．

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7、设函数 $f (x) = {(1 + \frac{1}{n})}^{x} (n \in N ，且 n > 1)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．

(1)、当 $x = 5$ 时，求 ${(1 + \frac{1}{n})}^{x}$ 展开式二项式系数最大的项；

(2)、对任意的实数 $x$ ，证明： $\frac{f (2 x) + f (2)}{2} > f^{'} (x)$ ；

(3)、是否存在 $a \in N$ ，使得 $a n < {\sum_{k = 1}^{n} (1 + \frac{1}{k})}^{k} < (a + 1) n$ 对 $\forall n \in N$ ，且 $n > 1$ 恒成立？若存在，求出 $a$ 的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

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8、若函数 $f (x) = \sin x - \cos x + a x + 1 (a > 0)$ ， $x \in [0, 2 π]$ 的图象与直线 $x = 0$ ， $x = π$ ， $y = 0$ 所围成的封闭图形的面积为 $\frac{1}{2} π^{2} + π + 2$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 单调区间及最值；

(3)、求函数 $g (x) = f (x) - m$ 在区间 $x \in [0, 2 π]$ 上的零点个数．

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9、若曲线 $f (x) = \frac{a}{2} x^{2} - e^{x}$ 不存在垂直于 $y$ 轴的切线，则实数 $a$ 的取值范围是．

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10、已知 $X ～ N (1.4, {0.05}^{2})$ ，则 $X$ 落在区间 $(1.35, 1.45)$ 中的概率为 $. ($ 参考数据： $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.683$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.954$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.997)$

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11、已知 $(1 + x) {(a - x)}^{6} = a_{0}$ $+ a_{1} x + \dots + a_{7} x^{7}$ ，若 $a_{0} + a_{1} + \dots + a_{7} = 0$ ，则 $a_{3} =$ ．

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12、将杨辉三角中的每一个数 $C_{n}^{r}$ 都换成 $\frac{1}{(n + 1) C_{n}^{r}}$ ，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果 $n \geq 2$ （ $n \in N^{*}$ ），那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（       ）
第0行                                                             $\frac{1}{1}$
第1行                                                      $\frac{1}{2}$               $\frac{1}{2}$
第2行                                                $\frac{1}{3}$               $\frac{1}{6}$                      $\frac{1}{3}$
第3行                                         $\frac{1}{4}$               $\frac{1}{12}$                      $\frac{1}{12}$                      $\frac{1}{4}$
……                                                            ……
第n行                                  $\frac{1}{(n + 1) C_{n}^{0}}$         $\frac{1}{(n + 1) C_{n}^{1}}$              ……                     $\frac{1}{(n + 1) C_{n}^{n}}$

A、当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值 B、第8行第2个数是 $\frac{1}{72}$ C、 $\frac{1}{(n + 1) C_{n}^{r}} = \frac{1}{(n + 1) C_{n}^{n - r}}$ （ $r \in N$ ， $0 \leq r \leq n$ ） D、 $\frac{1}{(n + 1) C_{n}^{r - 1}} + \frac{1}{(n + 1) C_{n}^{r}} = \frac{1}{n C_{n}^{r - 1}}$ （ $r \in N$ ， $1 \leq r \leq n$ ）

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13、居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称 $C P I$ ），是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况.如图为国家统计局于2020年4月公布的2019年3月至2020年3月 $C P I$ 数据同比和环比涨跌幅折线图：
（注：同比 $= \frac{本月 C P I}{去年同月 C P I}$ ，同比涨跌幅 $= \frac{本月 C P I - 去年同月 C P I}{去年同月 C P I} \times 100 %$ ，环比 $= \frac{本月 C P I}{上月 C P I}$ ，环比涨跌幅 $= \frac{本月 C P I - 上月 C P I}{上月 C P I} \times 100 %$ ），则下列说法正确的是

A、2019年12月与2018年12月 $C P I$ 相等 B、2020年3月比2019年3月 $C P I$ 上涨4.3% C、2019年7月至2019年11月 $C P I$ 持续增长 D、2020年1月至2020年3月 $C P I$ 持续下降

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14、给出下列命题，其中正确的是（）

A、对于独立性检验 $K^{2}$ 的值越大，说明两事件相关程度越大. B、若随机变量 $ξ \sim N (1, σ^{2}), P (ξ \leq 4) = 0.75$ ，则 $P (ξ \leq - 2) = 0.25$ C、若 $X \sim B (9, \frac{1}{3})$ ，则 $D (2 X + 1) = 8$ D、已知样本点 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3 \dots 10)$ 组成一个样本，得到回归直线方程 $\hat{y} = 2 x - 0.4$ ，且 $\bar{x} = 2$ ，剔除两个样本点 $(- 3, 1)$ 和 $(3, - 1)$ 得到新的回归直线的斜率为 $3$ ，则新的回归方程为 $\hat{y} = 3 x - 3$

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15、若关于 $x$ 的不等式 $e^{x} + x + 2 ln \frac{1}{x} \geq m x^{2} + ln m$ 恒成立，则实数 $m$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{e^{2}}{4}$ C、1 D、 $e^{2}$

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16、某中学数学组来了 $5$ 名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的 $1$ ， $2$ ， $3$ 三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（）

A、 $30$ 种 B、 $90$ 种 C、 $150$ 种 D、 $180$ 种

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17、在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于 $120$ 分为优秀， $120$ 分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下 $2 \times 2$ 列联表：

优秀
非优秀
合计
甲班人数
$10$
$50$
$60$
乙班人数
$20$
$30$
$50$
合计
$30$
$80$
$110$
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$
根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（）

A、 $95 %$ B、 $99.5 %$ C、 $99.9 %$ D、 $99 %$

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18、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $S_{3}$ $= 3$ ， $S_{6}$ $= 10$ ， $S_{9}$ $=$ （）

A、 $13$ B、 $17$ C、 $21$ D、 $23$

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19、数列 $1 ， 3 ， 7 ， 13 ， 21$ …的一个通项公式是 $a_{n} =$

A、 $n^{2} - n$ B、 $n^{2} - n - 1$ C、 $n^{2} - n + 1$ D、 $n^{2} - 2 n$

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20、下列图象中有一个是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + (a^{2} - 1) x + 1 (a \in R, a \neq 0)$ 的导数 $f' (x)$ 的图象，则 $f (- 1) =$ （　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$ 或 $\frac{5}{3}$

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	优秀	非优秀	合计
甲班人数	$10$	$50$	$60$
乙班人数	$20$	$30$	$50$
合计	$30$	$80$	$110$

$α$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$