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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = i^{3}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{i}{2}$ B、 $- \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

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2、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ .
（1）求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；
（2）若 $P A = A C = 1$ ， $B C = 2$ ， $M$ 是 $P B$ 的中点，求 $A M$ 与平面 $P B C$ 所成角的正切值.

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3、如图，三角形 $P D C$ 所在的平面与长方形 $A B C D$ 所在的平面垂直， $P D = P C = 4$ ， $A B = 6 ， B C = 3$ .

(1)、证明： $B C ⊥ P D$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $P D A$ 的距离.

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4、某调研小组调查了某市1000名外卖骑手平均每天完成的任务量（简称“单量”），得到如下的频数分布表：
单量/单
$[10, 15)$
$[15, 20)$
$[20, 25)$
$[25, 30)$
$[30, 35)$
$[35, 40)$
$[40, 45)$
$[45, 50)$
$[50, 55)$
人数
100
120
130
180
220
150
60
30
10

(1)、补全该市1000名外卖骑手每天单量的频率分布直方图；

(2)、根据图表数据，试求样本数据的中位数（精确到0.1）；

(3)、根据外卖骑手的每天单量，参考某平台的类别将外卖骑手分成三类，调查获知不同类别的外卖骑手开展工作所投入的装备成本不尽相同，如下表：
日单量/单
$(0, 20)$
$[20, 40)$
$[40, + \infty)$
类别
普通骑手
精英骑手
王牌骑手
装备价格/元
2500
4000
4800
根据以上数据，估计该市外卖骑手购买装备的平均成本.

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5、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 在边 $B C$ 上， $∠ P A C = 60 °$ ， $P C = 1$ ， $A P + A C = 2$ .

(1)、求 $∠ A P C$ ；

(2)、若 $△ A P B$ 的面积是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $A B$ .

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6、已知 $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $(2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 61$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ ；

(2)、求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 与 $| \vec{a} - \vec{b} |$ ．

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7、半径为 $4$ 的球的球面上有四点 $A, B, C, D$ ，已知 $△ A B C$ 为等边三角形且其面积为 $9 \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $D - A B C$ 体积的最大值为.

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8、已知i是虚数单位，则 $|2 + i^{2} + 2 i^{3}| =$ ．

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9、在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面结论中正确的是（　　）

A、BC∥平面PDF B、DF⊥平面PAE C、平面PDF⊥平面ABC D、平面PAE⊥平面ABC

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10、某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（）

A、 $m = 0.030$ B、样本质量指标值的平均数为75 C、样本质量指标值的众数小于其平均数 D、样本质量指标值的第75百分位数为85

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11、在空间中，设 $m ， n$ 是不同的直线， $α ， β$ 表示不同的平面，则下列命题错误的是（）

A、若 $α$ $/ /$ $β ， m$ $/ /$ $α$ ，则 $m$ $/ /$ $β$ . B、若 $α ⊥ β ， m ⊥ α$ ，则 $m$ $/ /$ $β$ C、若 $α ⊥ β ， m$ $/ /$ $α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β ， m ⊥ α ， n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$

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12、如图所示，正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $O$ 为底面正方形的中心， $E$ 是 $P B$ 的中点， $A B = 2 ， P O = \sqrt{3}$ ，侧面 $P A D$ 与底面 $A B C D$ 所成的二面角的大小（）

A、 $45 °$ B、 $30 °$ C、 $90 °$ D、 $60 °$

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13、已知一组数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的平均数是3，方差是 $\frac{1}{2}$ ，那么另一组数据 $2 x_{1} - 1,2 x_{2} - 1$ ， $2 x_{3} - 1,2 x_{4} - 1,2 x_{5} - 1$ 的平均数，方差分别是

A、5， $\frac{1}{2}$ B、5，2 C、3，2 D、3， $\frac{1}{2}$

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14、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F, G, H$ 分别为 $A A_{1}$ 、 $A B$ 、 $B B_{1}$ 、 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则异面直线 $E F$ 与 $G H$ 所成的角等于（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $120 °$

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15、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，其左、右焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M$ 、 $N$ 两点， $△ F_{1} M N$ 的周长为8．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设线段 $M N$ 的垂直平分线 $l_{1}$ 交 $x$ 轴于点 $P$ ，是否存在实数 $λ$ ，使得 $|M N| = λ |P F_{2}|$ ？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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16、设函数 $f (x) = x^{3} - (b + 1) x^{2} + b x$ ．

(1)、当 $b = 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若已知 $b > 1$ ，且 $f (x)$ 的图象与 $y = - x$ 相切，求 $b$ 的值；

(3)、在（2）的条件下， $f (x)$ 的图象与 $y = - x + m$ 有三个公共点，求 $m$ 的取值范围．

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17、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，平面 $A B C D ⊥$ 平面ABE，点E在以AB为直径的半圆O上运动（不包括端点），底面ABCD为矩形， $A D = B C = \frac{1}{2} A B = 1$ .

(1)、求证： $B E ⊥$ 平面ADE；

(2)、当四棱锥 $E - A B C D$ 体积最大时，求平面ADE与平面ACE所成夹角的余弦值.

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_{n}$ 和 $B_{n}$ ，且对任意 $n \in N *$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{3}{2} (b_{n + 1} - b_{n})$ 恒成立.

(1)、若 $A_{n} = \frac{3 n^{2} + 3 n}{2}$ ， $b_{1} = 2$ ，求 $B_{n}$ ；

(2)、若对任意 $n \in N *$ ，都有 $a_{n} = B_{n}$ 及 $\frac{b_{2}}{a_{1} a_{2}} + \frac{b_{3}}{a_{2} a_{3}} + \frac{b_{4}}{a_{3} a_{4}} + \dots + \frac{b_{n + 1}}{a_{n} a_{n + 1}} < \frac{1}{3}$ 恒成立，求正整数 $b_{1}$ 的最小值.

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19、为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系，某调查机构随机调查了100名高中生的情况，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，已知运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，运动欠佳的男生有5人.

(1)、根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为学生体育运动时间达标与性别因素有关系；
性别
运动达标情况
合计
运动达标
运动欠佳
男生
女生
合计

(2)、现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2.人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.
参考公式 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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20、下列说法正确的是（）

A、对个变量 $x$ ， $y$ 进行线性相关检验，得线性相关系数 $r_{1} = 0.8995$ ，对两个变量 $u$ ， $v$ 进行线性相关检验，得线性相关系数 $r_{2} = - 0.9568$ ，则变量 $x$ 与 $y$ 正相关，变量 $u$ 与 $v$ 负相关，变量 $u$ 与 $v$ 的线性相关性较强 B、若随机变量 $Y ~ B (3, \frac{2}{3})$ ，则 $D (2 Y) = \frac{8}{3}$ C、在 ${(1 + x)}^{6}$ 的展开式中，奇数项的二项式系数和为32 D、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, 1)$ ，且 $P (2 \leq X \leq 4) = 0.6826$ ，则 $P (X > 4) = 0.3174$

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单量/单	$[10, 15)$	$[15, 20)$	$[20, 25)$	$[25, 30)$	$[30, 35)$	$[35, 40)$	$[40, 45)$	$[45, 50)$	$[50, 55)$
人数	100	120	130	180	220	150	60	30	10

日单量/单	$(0, 20)$	$[20, 40)$	$[40, + \infty)$
类别	普通骑手	精英骑手	王牌骑手
装备价格/元	2500	4000	4800

性别	运动达标情况		合计
性别	运动达标	运动欠佳	合计
男生
女生
合计

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635