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相关试卷

1、设 $α, β, γ$ 是三个互不重合的平面， $m, l$ 是两条不重合的直线，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $α ⊥ β, α ⊥ γ$ ，则 $β ⊥ γ$ B、若 $l / / α, l / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m ⊥ α, l ⊥ β, m ⊥ l$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m / / l, l / / α$ ，则 $m / / α$

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2、如图所示的花盆为正四棱台，上口宽 $5 cm$ ，下口宽 $3 cm$ ，棱长 $3 \sqrt{3} cm$ ，则该花盆的体积为（）

A、 $\frac{245}{3} {cm}^{3}$ B、 $49 \sqrt{3} {cm}^{3}$ C、 $\frac{49 \sqrt{3}}{3} {cm}^{3}$ D、 $245 {cm}^{3}$

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3、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{2} + a_{8} = 4, a_{15} = 22$ ，则 $S_{12} - S_{7} =$ （）

A、14 B、72 C、36 D、60

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4、双曲线 $\frac{x^{2}}{m^{2}} - y^{2} = 1 (m > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{17}$ ，则双曲线上任意一点 $Q$ 到两焦点 $F_{1}, F_{2}$ 的距离之差的绝对值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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5、样本数据16，24，14，10，16，21，12，9，13，18的 $40 %$ 分位数为（）

A、13 B、13.5 C、14 D、16

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6、11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成 $10 : 10$ 平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙发球时甲得分的概率为 $\frac{1}{2}$ ，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成 $10 : 10$ 平后，甲先发球.

(1)、求再打2球该局比赛结束的概率；

(2)、两人又打了 $X$ 个球该局比赛结束，求 $X$ 的数学期望 $E (X)$ ；

(3)、若将规则改为“打成 $10 : 10$ 平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率.

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7、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的虚轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，点 $P (3, - 2)$ 在 $C$ 上.设直线 $l$ 与 $C$ 交于A，B两点（异于点P），直线AP与BP的斜率之积为 $\frac{1}{3}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、证明：直线 $l$ 的斜率存在，且直线 $l$ 过定点.

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8、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长均相等， $C B_{1} \cap B C_{1} = O$ ， $∠ A B B_{1} = 60 °$ ， $C B ⊥ B B_{1}$ .

(1)、证明； $A O ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ .

(2)、若二面角 $C_{1} - A_{1} B_{1} - B$ 的正弦值.

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9、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n} ， \{b_{n}\}$ 是等比数列，已知 $a_{1} = 1 ， S_{3} = 6$ ， $b_{1} = a_{2} ， a_{8}$ 是 $a_{4}$ 和 $b_{4}$ 的等比中项.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、记 $c_{n} = \frac{b_{n} - 1}{b_{n + 1} - 1}$ ，求证： $\frac{n}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{n + 1}} < \sum_{i = 1}^{n} c_{i} < \frac{n}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{n + 2}}$ .

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10、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{2} x^{2} (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 2$ 时，证明： $f (x) \leq x^{2} + x - 1$ ．

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11、如图1，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 6 \sqrt{3}$ ， $C D = 8 \sqrt{3}$ ， $A D = 6$ ，点E，F分别为边 $A B$ ， $C D$ 上的点，且 $E F ∥ A D$ ， $A E = 4 \sqrt{3}$ .将四边形 $A E F D$ 沿 $E F$ 折起，如图2，使得平面 $A E F D ⊥$ 平面 $E B C F$ ，点M是四边形 $A E F D$ 内（含边界）的动点，且直线 $M B$ 与平面 $A E F D$ 所成的角和直线 $M C$ 与平面 $A E F D$ 所成的角相等，则当三棱锥 $M - B E F$ 的体积最大时，三棱锥 $M - B E F$ 的外接球的表面积为.

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} (1 - 3 a) x + a + 1, & x < 2 \\ 2 a^{x}, & x \geq 2 \end{matrix}$ 满足对任意的 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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13、已知 $y > x > 0$ ，则 $\frac{y}{y - x} - \frac{4 x}{2 x + y}$ 的最小值为.

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14、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x - 2 \sqrt{3} \cos^{2} x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[- 2 - \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}]$ B、 $f (x)$ 的对称中心为 $(\frac{π}{6} + \frac{k π}{2}, 0)$ ， $k \in Z$ C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上的单减区间为 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ D、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{5}{6} π)$ 上的极值点个数为1

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15、如图，已知二面角 $α - l - β$ 的平面角大小为 $60 °, C \in α, D \in β, A C ⊥ l, B D ⊥ l$ ，垂足分别为 $A$ ， $B$ ，若 $A C = B D = 2 A B = 2$ ，则下列结论正确的有（）

A、直线 $C D$ 与平面 $β$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、点 $D$ 到平面 $α$ 的距离为 $\sqrt{3}$ C、平面 $B C D$ 与平面 $α$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{2}$ D、三棱锥 $C - A B D$ 外接球的表面积为 $\frac{19 π}{3}$

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16、若 $P (A \cap B) = \frac{1}{9}$ ， $P (\bar{A}) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，则事件A与事件B的关系是（）

A、事件A与事件B互斥 B、事件A与事件B互为对立 C、事件A与事件B相互独立 D、事件A与事件B互斥又独立

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17、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} + a_{11} = 100$ ，则 $a_{1} + a_{13}$ 的值为（）

A、20 B、30 C、40 D、50

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18、如图，已知四棱锥 $M - A B C D$ ，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ B、 $\frac{9 \sqrt{5}}{40}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{15}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{20}$

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19、已知 $\tan α = - \frac{1}{3}$ ，则 $3 \sin^{2} α + \sin α \cos α =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、0 C、 $\frac{3}{5}$ D、1

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20、已知向量 $\vec{a} = (2, m)$ ， $\vec{b} = (m + 1, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则m的值为（）

A、2 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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