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相关试卷

1、在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为线段 $A D$ 的中点，若 $\overset{⇀}{E C} = λ \overset{⇀}{A D} + μ \overset{⇀}{A B}$ ，则 $λ + μ =$ ．

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2、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 4 |\vec{b}|$ ，且 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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3、定义两个非零平面向量的一种新运算 $\vec{a} * \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ ，其中 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 表示 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角，则对于两个非零平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，下列结论一定成立的有（）

A、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\vec{a} \sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ B、 ${(\vec{a} * \vec{b})}^{2} + {(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2} = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2}$ C、 $λ (\vec{a} * \vec{b}) = (λ \vec{a}) * \vec{b}$ D、若 $\vec{a} * \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行

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4、设z是复数，则下列命题中的假命题是

A、若 $z^{2} \geq 0$ ，则z是实数 B、若 $z^{2} < 0$ ，则z是虚数 C、若z是虚数，则 $z^{2} \geq 0$ D、若z是纯虚数，则 $z^{2} < 0$

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5、在 $△ A B C$ 中，若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B < \sin^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 的形状不可能是（）

A、锐角三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形

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6、已知点O是 $Δ A B C$ 内一点，满足 $\vec{O A} + 2 \vec{O B} = m \vec{O C}$ ， $\frac{S_{Δ A O B}}{S_{Δ A B C}} = \frac{4}{7}$ ，则实数m为（）

A、2 B、-2 C、4 D、-4

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7、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．若 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $a = 1$ ， $4 S = b^{2} + c^{2} - 1$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的面积为（）

A、 $4 π$ B、 $2 π$ C、 $π$ D、 $\frac{π}{2}$

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8、如图，在 $Δ A B C$ 中， $\overset{⇀}{A N} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{A C} ， P$ 是 $B N$ 的中点，若 $\overset{⇀}{A P} = m \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ ，则实数 $m$ 的值是

A、 $\frac{1}{4}$ B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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9、在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为(　　)

A、 $\sqrt{5} π$ B、 $\sqrt{6} π$ C、3π D、4π

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10、已知 $i$ 为虚数单位， $z = \frac{4}{1 + i}$ ，则复数 $z$ 的虚部为(　　).

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、2 D、 $- 2$

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, m)$ ，向量 $\vec{b} = (- 1, \sqrt{3})$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则m等于（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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12、已知圆 $C$ 过点 $A (2, 6)$ ，圆心在直线 $y = x + 1$ 上，截 $y$ 轴弦长为 $2 \sqrt{5}$ ．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若圆 $C$ 半径小于 $10$ ，点 $D$ 在该圆上运动，点 $B (3, 2)$ ，记 $M$ 为过 $B$ 、 $D$ 两点的弦的中点，求 $M$ 的轨迹方程；

(3)、在（2）的条件下，若直线 $B D$ 与直线 $l : y = x - 2$ 交于点 $N$ ，证明： $|B M| \cdot |B N|$ 恒为定值．

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13、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3, A D = A A_{1} = 2$ ，点E在 $A B$ 上，且 $A E = 1$

(1)、求直线 $D_{1} E$ 与 $A_{1} C$ 所成角 $α$ 的余弦值．

(2)、在图中画出面 $A B C_{1}$ 与面 $A_{1} E C$ 的交线并求出该交线在长方体内部的长度．

(3)、求点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} E C$ 的距离．

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14、浙江省高考目前实行“ $3 + 3$ ”模式，其中一个“ $3$ ”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，另一个“ $3$ ”指的是考生需要在物理、化学、生物、政治、历史、地理和技术中任选 $3$ 科，同学们的选科会出现 $35$ 种不同的组合．已知 $2024$ 年浙大竺可桢学院图灵班选科要求是物理和化学双选，其他 $5$ 个科目任选 $1$ 科．

(1)、从所有选科组合中任意选取 $1$ 个，求该选科组合符合 $2024$ 年浙大竺可桢学院图灵班招生选科要求的概率；

(2)、假设甲、乙两人选择任意 $1$ 个选科组合是等可能的，求这两人中有且只有一人的选科组合符合 $2024$ 年浙大竺可桢学院图灵班招生选科要求的概率．

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15、已知 $△ A B C$ 的顶点 $A$ 的坐标为 $(- 2, 1)$ ， $A B$ 边上的中线 $C M$ 所在的直线方程为 $x - 2 y - 1 = 0$ ， $∠ A B C$ 的平分线 $B N$ 所在的直线方程为 $7 x + y - 12 = 0$ ．

(1)、求点 $B$ 的坐标；

(2)、求直线 $B C$ 的方程

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16、已知空间三点 $A (0, - 2, 3)$ 、 $B (- 2, - 1, 6)$ 、 $C (1, 1, 5)$ .

(1)、若向量 $\vec{m}$ 与 $\vec{A B}$ 平行，且 $|\vec{m}| = \sqrt{14}$ ，求 $\vec{m}$ 的坐标．

(2)、若向量 $\vec{n}$ 分别与 $\vec{C B}$ 、 $\vec{C A}$ 垂直，且 $|\vec{n}| = \sqrt{3}$ ，求 $\vec{n}$ 的坐标．

(3)、求以 $C B$ 、 $C A$ 为邻边的平行四边形的面积．

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17、为了了解学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性等，某学校对在校1500名学生进行了一次坐位体前屈测试，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取75人，已知这1500名学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为 $13 .2cm$ 和13.36，女生的平均数和方差分别为 $15 .2cm$ 和17.56．

(1)、求样本中男生和女生应分别抽取多少人；

(2)、求抽取的总样本的平均数，并估计全体学生的坐位体前屈成绩的方差．
（参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： $n_{1}, \bar{x}, s_{1}^{2}, n_{2}, \bar{y}, s_{2}^{2}$ ．记总样本的平均数为 $\bar{ω}$ ，样本方差为 $s^{2}$ ，则 $s^{2} = \frac{1}{n_{1} + n_{2}} \{n_{1} [s_{1}^{2} + {(\bar{x} - \bar{ω})}^{2}] + n_{2} [s_{2}^{2} + {(\bar{y} - \bar{ω})}^{2}]\}$ ．

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18、已知某 $30 °$ 的直角三角板斜边长 $10 cm$ ，动点P到直角顶点距离始终为 $15 cm$ ，记P到三角板斜边两个端点距离分别为 $l (cm), m (cm)$ ，则 $l^{2} + m^{2}$ 范围为（单位平方厘米）．

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19、若一组 $10$ 个数据 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $\dots$ 、 $a_{10}$ 的平均数为 $3$ ，方差为 $6$ ，则 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{10}^{2} =$ ．

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20、已知空间向量 $\vec{a}, \vec{b}, | \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 2, \vec{m} = \vec{a} + \vec{b}, \vec{n} = λ \vec{a} + \vec{b}, < \vec{a}, \vec{b} > = 60 °$ ，若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $λ$ 的值为．

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