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相关试卷

1、下面关于等差､等比数列的说法正确的是（）

A、前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + 2 n + 4$ 的数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、证明数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列时，只需证明 $a_{n} = a_{n - 1} q (n \in N, n \geq 2)$ C、若 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，则 $a_{n - 3}, a_{n - 5}, a_{n - 7} (n \in N, n \geq 8)$ 也一定成等差数列 D、 $a + a^{2} + \dots + a^{n} = \frac{a - a^{n + 1}}{1 - a}$

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2、若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2 \times 3^{- n} (n \in N^{*})$ ，则这个数列是一个（）

A、以2为首项，以3为公比的等比数列 B、以2为首项，以 $\frac{1}{3}$ 为公比的等比数列 C、以 $\frac{2}{3}$ 为首项，以3为公比的等比数列 D、以 $\frac{2}{3}$ 为首项，以 $\frac{1}{3}$ 为公比的等比数列

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3、将正整数 $n$ 分解成两个正整数 $k_{1} ､ k_{2}$ 的积，即 $n = k_{1} \cdot k_{2}$ ，当 $k_{1} ､ k_{2}$ 两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如 $20 = 1 \times 20 = 2 \times 10 = 4 \times 5$ ，其中 $4 \times 5$ 即为20的最优分解，当 $k_{1}, k_{2}$ 是 $n$ 的最优分解时，定义 $f (n) = |k_{1} - k_{2}|$ ，则数列 $\{f (5^{n})\}$ 的前2023项和为.

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4、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{2 (n + 2)}{n + 1} a_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $\frac{a_{2017}}{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2016}} =$ ．

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5、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) + \frac{1}{2} (ω > 0)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上有且仅有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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6、如图 $P_{1}$ 是一块半径为1的半圆形纸板，在 $P_{1}$ 的左下端剪去一个半径为 $\frac{1}{2}$ 的半圆后得到图形 $P_{2}$ ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形 $P_{3}$ 、 $P_{4}$ 、……、 $P_{n}$ …，记纸板 $P_{n}$ 的面积为 $S_{n}$ ，则 $\lim_{n \to \infty} S_{n} =$ .

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7、若将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为．

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8、方程 ${log}_{9} x = sin 2 x$ 的实数解的个数为个.

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9、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 \times 3^{n} + k$ ，则 $S_{4} =$ .

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10、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, S_{10} = 100$ ，若 $a_{n} = {log}_{2} b_{n}$ ，则 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} =$ .

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11、已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} - 2 = \frac{1}{2} (a_{n} - 2)$ ，则通项公式 $a_{n} =$ ．

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12、若 $\sqrt{2}$ ， $x$ ， $2 \sqrt{2}$ 成等比数列，则 $x =$ .

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13、函数 $y = \tan (2 x - \frac{π}{6})$ 的最小正周期为．

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14、已知函数 $f (x) = 4 sin x \cdot sin (x + \frac{π}{3}) - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、将 $f (x)$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ 时，求 $g (x)$ 的值域.

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15、已知O是坐标原点，向量 $\vec{O A} = (3, 4), \vec{O B} = (10, 1), \vec{O P} = (6 - 2 x, x)$

(1)、若 $\vec{P A} ⊥ \vec{P B}$ ，求 $x$ 的值，

(2)、当 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 取得最小值时，求 $|\vec{P A} + \vec{P B}|$ .

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16、已知幂函数 $f (x) = (3 a^{2} + 2 a - 7) x^{a} (a \in R)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并证明.

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17、已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2}{3} π$ .

(1)、求 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3 \vec{b})$ .

(2)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ .

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18、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $|\vec{a} - 2 \vec{b}| = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角的大小为.

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a = 6, A = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的面积为（）

A、 $4 π$ B、 $12 π$ C、 $16 π$ D、 $48 π$

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20、已知 $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ ，以 $\vec{a}, \vec{b}$ 为基底表示 $\vec{A C}$ ，则 $\vec{A C} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b})$ B、 $2 \vec{b} - \vec{a}$ C、 $\frac{1}{2} (\vec{b} - \vec{a})$ D、 $2 \vec{b} + \vec{a}$

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