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相关试卷

1、设双曲线 $Γ$ 的中心为O，右焦点为F，点B满足 $2 \vec{F B} = \vec{O F}$ ，若在双曲线 $Γ$ 的右支上存在一点A，使得 $|O A| = |O F|$ ，且 $∠ O A B \geq 3 ∠ O B A$ ，则 $Γ$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{2 \sqrt{15} - 2}{7}, \frac{2 \sqrt{15} + 2}{7}]$ B、 $(1, \frac{2 \sqrt{15} + 2}{7}]$ C、 $(1, \frac{3 \sqrt{15} + 3}{7}]$ D、 $[\frac{3 \sqrt{15} - 3}{7}, \frac{3 \sqrt{15} + 3}{7}]$

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2、设平面 $α$ 内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面 $α$ 内存在一点D满足 $\vec{P D} = x \vec{P A} + (2 - x)$ $\vec{P B} + 3 x \vec{P C}$ ，则x的值为（）

A、0 B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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3、若数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的项数均为 $m$ ，则将数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的距离定义为 $\sum_{i = 1}^{m} |a_{i} - b_{i}|$ .

(1)、求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；

(2)、记A为满足递推关系 $a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$ 的所有数列 $\{a_{n}\}$ 的集合，数列 $\{b_{n}\}$ 和 $\{c_{n}\}$ 为A中的两个元素，且项数均为 $m$ .若 $b_{1} = 2$ ， $c_{1} = 3$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 和 $\{c_{n}\}$ 的距离 $\sum_{i = 1}^{m} |b_{i} - c_{i}| \leq 2024$ ，求m的最大值；

(3)、记S是所有7项数列 $\{a_{n}\}$ （其中 $1 \leq n \leq 7$ ， $a_{n} = 0$ 或1）的集合， $T \subseteq S$ ，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16.

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4、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 2 B C = 8$ ，点M是棱 $C C_{1}$ 的中点，点E在 $C C_{1}$ 上，且 $C E = 2$ .

(1)、证明： $A M / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求平面 $B D E$ 与平面 $C D E$ 的夹角的余弦值

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5、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量 $ξ$ 表示所选3人中女生的人数.
（1）求 $ξ$ 的分布列；
（2）求 $ξ$ 的数学期望；
（3）求“所选3人中女生人数 $ξ \leq 1$ ”的概率.

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6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高四尺.问：积及委米几何?”其意思：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为4尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有斛.

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7、已知 $\vec{a} = (2, 1, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 0, 1)$ .则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ .

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8、已知 $|\vec{A C}| = 3$ ， $|\vec{A B}| = 5$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = - \frac{15}{2}$ ，则 $|\vec{B C}| =$ （）

A、6 B、7 C、 $\sqrt{19}$ D、 $\sqrt{34}$

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9、设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} = 1$ ，公差 $d = 2, S_{k + 2} - S_{k} = 24$ ，则k=

A、8 B、7 C、6 D、5

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10、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，过 $F_{1}$ 且不与坐标轴重合的直线 $l$ 椭圆C于A，B两点，则 $△ A B F_{2}$ 的周长为（）

A、4 B、8 C、16 D、32

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11、设集合 $M = \{m \in Z |- 3 < m < 2\}$ ， $P = \{x |- 1 \leq x \leq 3\}$ ，则 $M \cap P =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{x |- 3 < x \leq 3\}$ D、 $\{x |- 1 \leq x < 2\}$

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12、某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（）．

A、5，7 B、6，7 C、8，5 D、8，7

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13、1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元 $n$ 次多项式方程在复数域上至少有一根（ $n \geq 1$ ）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论： $n$ 次复系数多项式方程在复数域内有且只有 $n$ 个根（重根按重数计算）.对于 $n$ 次复系数多项式 $f (x) = x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + a_{1} x + a_{0}$ ，其中 $a_{n - 1}$ ， $a_{n - 2}$ ， $\cdot \cdot \cdot, a_{0} \in C$ ，若方程 $f (x) = 0$ 有 $n$ 个复根 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ ，则有如下的高阶韦达定理： $\{\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = - a_{n - 1} \\ \sum_{1 \leq i < j \leq n}^{n} x_{i} x_{j} = a_{n - 2} \\ \sum_{1 \leq i < j < k \leq n}^{n} x_{i} x_{j} x_{k} = - a_{n - 3} \\ ⋮ \\ x_{1} x_{2} \cdot \cdot \cdot x_{n} = {(- 1)}^{n} a_{0} \end{array}$

(1)、在复数域内解方程 $x^{2} + 4 = 0$ ；

(2)、若三次方程 $x^{3} + a x^{2} + b x + c = 0$ 的三个根分别是 $x_{1} = 1 - i$ ， $x_{2} = 1 + i$ ， $x_{3} = 2$ （ $i$ 为虚数单位），求 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

(3)、在 $n \geq 4$ 的多项式 $f (x) = x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + a_{1} x + a_{0}$ 中，已知 $a_{n - 1} = - 1$ ， $a_{1} = - n^{2} a$ ， $a_{0} = a$ ， $a$ 为非零实数，且方程 $f (x) = 0$ 的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含 $n$ 的式子表示）.

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14、已知函数 $f (x) = ln (x + m) - x$ 和 $g (x) = e^{x} - x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $2 y - 3 x = 0$ 垂直，求 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、当 $m \leq 2$ 时，证明： $f (x)$ 的图象恒在 $g (x)$ 的图象的下方.

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15、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $A F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E F // A D$ ， $A D = 3$ ， $E F = \frac{3}{2}$ ， $C F = 3 \sqrt{3}$ ， $N$ 是 $B F$ 的中点， $B E$ 与 $C F$ 交于点 $M$ .

(1)、证明： $A N ⊥$ 平面 $B C E F$ ；

(2)、求直线 $M D$ 和平面 $A C F$ 所成角的大小.

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16、2024年3月20日8时31分，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射升空，为嫦娥四号、嫦娥六号等任务提供地月间中继通信，使我国探月工程进入新阶段.为激发学生对航天的热爱，某校开展了航天知识竞赛活动.经过多轮比拼，最终只有甲，乙两位同学进入最后一轮.在最后一轮比赛中，有A， $B$ 两道问题.其中问题A为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；问题 $B$ 为必答题，甲、乙两人都要回答.已知甲能正确回答每道题的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，乙能正确回答每道题的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且甲、乙两人各题是否答对互不影响.

(1)、求问题A被回答正确的概率；

(2)、记正确回答问题 $B$ 的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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17、已知抛物线 $E$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，过焦点 $F$ 作直线 $l$ 交抛物线 $E$ 于 $A, B$ 两点， $D$ 为抛物线 $E$ 上的动点，且 $|D F|$ 的最小值为1.

(1)、抛物线 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 交抛物线 $E$ 的准线于点 $C (- 1, - 2)$ ，求线段 $A B$ 的中点的坐标.

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18、欧拉函数 $φ (n)$ 表示不大于正整数 $n$ 且与 $n$ 互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.已知 $φ (n) = n (1 - \frac{1}{p_{1}}) \cdot \cdot \cdot (1 - \frac{1}{p_{2}}) (1 - \frac{1}{p_{r}})$ ，其中 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， …， $p_{r}$ 是 $n$ 的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如 $φ (100) = 100 \times (1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{5}) = 40$ .若数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为3，公比为2的等比数列，则 $φ (a_{1}) + φ (a_{2}) + φ (a_{3}) + \cdot \cdot \cdot + φ (a_{100}) =$ .

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19、已知四面体 $A - B C D$ 的四个面都为直角三角形， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $∠ B D C$ 为直角，且 $A B = B C = \sqrt{2} C D = 2 \sqrt{2}$ ，则四面体 $A - B C D$ 的体积为，其外接球的表面积为.

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20、 $i$ 为虚数单位，若 $z$ 是以 $2 + i$ 的实部为虚部、以 $2 i + 1$ 的虚部为实部的复数，则 $z$ 的共轭复数的模长为.

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