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相关试卷

1、某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以 $a %$ 的增长率生长.若经过 $4$ 周后，该植物的长度是原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，则再经过 $6$ 周，该植物的长度大约是原来的（）

A、 $\frac{9 \sqrt{6}}{2}$ 倍 B、 $\frac{9 \sqrt{6}}{4}$ 倍 C、 $\frac{9 \sqrt{6}}{8}$ 倍 D、 $\frac{9 \sqrt{6}}{16}$ 倍

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2、若函数 $f (x) = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x - |x - a|}$ 为偶函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq - 3$ B、 $a \geq 3$ C、 $- 3 \leq a \leq 3$ D、 $a \leq - 3$ 或 $a \geq 3$

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3、已知菱形 $A B C D$ 的边长为1，若 $∠ B A D = 60 °$ ，则 $|\vec{A B} + 2 \vec{B C}| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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4、“ $\frac{b}{a} < 1$ ”是“ $a < b < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、为了得到函数 $y = sin x$ 的图象，可以将函数 $y = sin (x + \frac{1}{4})$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{1}{4}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{1}{4}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{1}{8}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{1}{8}$ 个单位长度

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6、若集合 $M = \{x |3^{x} < 81\}$ ， $N = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ，则 $M \cap N$ 的子集个数是（）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $16$ D、 $32$

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7、“风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分，距今已有2000多年的历史．相传在东周春秋时期，墨翟以木头制成木鸟，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．到南北朝时，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝；到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．风筝主要由骨架、风筝面、尾翼、提线、放飞线五部分组成．如图（1）就是一个由菱形的风筝面ABCD和两个直角三角形尾翼 $△ A D Q$ 和 $△ C D P$ 所组成的风筝．其中 $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $P D ⊥ C D$ ， $Q D ⊥ A D$ ， $A D = 1$ ， $P D = Q D = \sqrt{2}$ ．现将此风筝的两个尾翼分别沿 $A D 、 C D$ 折起，使得点P与点Q重合于点S，并连结 $B S$ ，得到如图（2）所示的四棱锥 $S - A B C D$ ．

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $S B D$ ；

(2)、若E为棱 $S A$ 上一点，记 $\frac{|S E|}{|S A|} = λ (0 \leq λ \leq 1)$
①若 $λ = \frac{1}{3}$ 求直线 $C E$ 与平面 $S B D$ 所成角的正切值；
②是否存在点E使得直线 $C E$ 与直线 $A D$ 所成角为 $60 °$ ，若存在请求出 $λ$ 的值，若不存在请说明理由．

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8、如图在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 30 °$ ， $A B = 2 A D = 4$ ， $E 、 F$ 分别为 $A B$ 和 $B C$ 上的动点（包含端点），且 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{B F} = μ \vec{B C}$ ．

(1)、若 $λ = μ = \frac{1}{2}$
①请用 $\vec{A F}$ ， $\vec{D E}$ 表示 $\vec{A B}$
②设 $A F$ 与 $D E$ 相交于点 $G$ ，求 $\frac{|\vec{A G}|}{|\vec{A F}|}$

(2)、若 $λ + μ = 1$ ，求 $\vec{A F} \cdot \vec{D E}$ 的取值范围．

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9、欧拉公式： $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ （ $i$ 为虚数单位， $x \in R$ ），是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”．

(1)、根据欧拉公式计算 $e^{\frac{2}{3} πi}$ ；

(2)、设函数 $f (x) = {(e^{i x} + e^{- i x})}^{2} + {(e^{i x} - e^{- i x})}^{2}$ ，求函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 上的值域．

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10、如图在三棱台 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 中，四边形 $A C C^{'} A^{'}$ 是等腰梯形，平面 $A C C^{'} A^{'} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A^{'} A C = 45 °$ ， $A B = B C = A C = 2 A^{'} C^{'} = 2$ ．

(1)、求三棱台 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 的体积；

(2)、求平面 $A^{'} B C$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值．

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11、已知钝角 $△ A B C$ 中，若 $A > B$ ，则下列命题中正确的是（）

A、 $\sin A > \sin B$ B、 $\cos A > \sin B$ C、 $\cos A < \cos B$ D、 $\sin A < \cos B$

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12、设A、B、C是函数 $f (x) = \sin ω x (ω > 0)$ 与函数 $g (x) = \cos (\frac{5 π}{6} - ω x) (ω > 0)$ 的图象连续相邻的三个交点，若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{3} π)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{3} π, + \infty)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2} π)$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} π, + \infty)$

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13、已知 $A 、 B 、 C$ 三点在以 $O$ 为圆心，1为半径的圆上运动，且 $A C ⊥ B C$ ，为圆 $O$ 所在平面内一点，且 $|O M| = 2$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $|\vec{M C}|$ 的最小值是1 B、 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 为定值 C、 $|\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}|$ 的最大值是10 D、 $|\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}|$ 的最小值是8

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14、已知 $m$ 、 $n$ 为异面直线， $m ⊥$ 平面 $α$ ， $n ⊥$ 平面 $β$ ，若直线 $l$ 满足 $m ⊥ l$ ， $n ⊥ l$ ， $l ⊄ α$ ， $l ⊄ β$ ，则（）

A、 $α ∥ β$ ， $l ∥ α$ B、 $α ⊥ β$ ， $l ⊥ β$ C、 $α \cap β =$ 直线 $r$ ， $r ∥ l$ D、 $α \cap β =$ 直线 $r$ ， $r ⊥ l$

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15、已知点O为 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ， $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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16、已知复数z满足 $(1 + i) z = 1 - i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则z的虚部为（）

A、0 B、 $- 1$ C、1 D、 $- i$

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为正方形，且 $P A = P C$ ， $P B = P D$ ，

(1)、若 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、棱 $P D$ 上的点 $E$ 满足 $P E = 2 D E$ ，若 $P A = \sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ，求直线 $C E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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18、意大利著名数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo·Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ ，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为 $\{a_{n}\}$ ．记一个新的数列 $\{b_{n}\}$ ，其中 $b_{n}$ 的值为 $a_{n}$ 除以4得到的余数，则 $\sum_{i = 1}^{2024} b_{i} =$ ．

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19、布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）

A、 $\vec{Q C} = \vec{A D} + 2 \vec{A B} - 2 \vec{A A_{1}}$ B、若M为线段CQ上的一个动点，则 $\vec{B M} \cdot \vec{B D}$ 的最小值为1 C、点F到直线CQ的距离是 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ D、异面直线CQ与 $A D_{1}$ 所成角的正切值为 $\sqrt{17}$

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20、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，正项等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则（）

A、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列 B、数列 $\{3^{a_{n}}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{ln T_{n}\}$ 是等差数列 D、数列 $\{\frac{T_{n + 2}}{T_{n}}\}$ 是等比数列

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