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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x \ln x$ ， $g (x) = x e^{x}$ ，若存在 $t > 0$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = t$ 成立，则 $x_{1} - 2 x_{2}$ 的最小值为（）

A、 $2 - ln 4$ B、 $2 + ln 4$ C、 $e - ln 2$ D、 $e + ln 2$

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2、过直线 $y = x - 1$ 上一点 $P$ 可以作曲线 $f (x) = x - ln x$ 的两条切线，则点 $P$ 横坐标 $t$ 的取值范围为（）

A、 $0 < t < 1$ B、 $1 < t < e$ C、 $0 < t < e$ D、 $\frac{1}{e} < t < 1$

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3、如图是函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象，则下面判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(- 3, 1)$ 上是增函数 B、 $f (x)$ 在 $(1, 2)$ 上是减函数 C、 $f (x)$ 在 $[- 3, 4]$ 上的最大值是 $f (1)$ D、当 $x = 4$ 时， $f (x)$ 取得极小值

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4、函数 $f (x) = x - 2 ln (2 x)$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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5、阅读课上，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（）

A、50 B、60 C、125 D、243

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6、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(x^{- 2})}^{'} = x^{- 3}$ B、 ${(x \sin x)}^{'} = \sin x + x \cos x$ C、 ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$ D、 ${(\cos \frac{π}{3})}^{'} = - \sin \frac{π}{3}$

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7、一个物体的位移 $s$ (米)与时间 $t$ (秒)的关系式为 $s = 2 + 10 t - t^{2}$ ，则该物体在3秒末位移的瞬时变化率是（）

A、6米/秒 B、5米/秒 C、4米/秒 D、3米/秒

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是平行四边形， $P D = P C = B D = \frac{1}{2} A D = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ .点E，F分别在DC和DP上，且 $D E = \frac{1}{3} D C$ ， $D F = \frac{1}{3} D P, B F = \sqrt{10} E F$ ，点M是BP的中点，点N在BC上， $D N ⊥ B E$ .

(1)、证明：平面 $P D C ⊥$ 平面ABCD；

(2)、证明： $M N / /$ 平面BEF；

(3)、求平面FMN与平面ABCD所成角的正弦值.

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9、（1）证明：当 $\frac{π}{2} < x < π$ 时， $\frac{\cos x}{\sin x} < \frac{π}{2} - x < \cos x$ ；
（2）已知函数 $f (x) = 2 a x - \tan x$ 在 $x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上有两个极值点，求实数a的取值范围．

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10、已知函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{π}{3} - 2 ω x) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴方程为．

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11、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $A = \frac{2 π}{3}$ ，若点D满足 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = 0$ ，且 $\vec{A D} = \frac{4}{5} \vec{A C} + \frac{1}{5} \vec{A B}$ ，则 $\frac{b}{c} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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12、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - a}{e^{x} + a}$ 是奇函数，若 $f (2023) > f (2024)$ ，则实数a的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\pm 1$ D、0

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13、已知 $A 、 B 、 C 、 D$ 四点在抛物线 $y^{2} = 6 x$ 上，直线 $A C$ 经过点 $P (1, 0)$ ，直线 $A B$ 经过点 $Q (2, 0)$ ，直线 $A D$ 与直线 $B C$ 相交，交点 $E$ 在 $x$ 轴上.

(1)、求证：点 $C$ 是线段 $B E$ 的中点；

(2)、记 $△ P B C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ D P Q$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}}$ 的最小值.

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14、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $△ A B P$ 是正三角形， $G$ 是 $△ B C D$ 的重心，点 $F$ 满足 $\vec{A P} = 3 \vec{F P}$ .

(1)、求证： $F G / /$ 平面 $B C P$ ；

(2)、若 $C P = \frac{3}{2} A B$ ，求直线 $B G$ 与平面 $B C P$ 所成角的正弦值.

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15、已知甲盒中有1个红球，2个蓝球，乙盒中有5个红球，4个蓝球，这些球除了颜色外完全相同.

(1)、从甲盒中有放回地取球，每次取1个，共取3次，求这3次中取出2次红球的概率；

(2)、从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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16、已知函数 $f (x) = 3 ln x - x^{2} + a x$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线的方向向量为 $(1, 2)$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值.

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17、某希望小学的操场空地的形状是一个扇形 $A O B$ ，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量， $∠ A O B = 60 °$ ， $O A = 2$ .在方案1中，若设 $O E = x$ ， $E F = y$ ，则 $x$ ， $y$ 满足的关系式为，比较两种方案，沙坑面积最大值为.

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18、若圆 $C : x^{2} + y^{2} - 5 y + 4 = 0$ 被双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线截得的弦长为2，则双曲线 $E$ 的离心率为.

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19、已知 $f (x) = cos ω x + \sqrt{3} sin ω x (ω > 0)$ 在 $[0, π]$ 上是单调函数，且 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- π, 0)$ 对称，则（）

A、若 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 4$ ，则 ${|x_{1} - x_{2}|}_{min} = 6 π$ B、 $f (x)$ 的图象的一条对称轴方程为 $x = 2 π$ C、函数 $y = f (x)$ 在 $(- π, 5 π)$ 上无零点 D、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $π$ 个单位长度后得到的函数为偶函数

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20、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左，右焦点， $P$ 是椭圆 $C$ 上一点， $∠ P F_{2} F_{1}$ 的角平分线与 $P F_{1}$ 的交点 $Q$ 恰好在 $y$ 轴上，则线段 $P F_{2}$ 的长度为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{37}}{4}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{5}{3}$

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