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相关试卷

1、若 $a = {0.1}^{0.2}$ ， $b = {0.1}^{0.1}$ ， $c = \log_{0.2} 0.1$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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2、“ $x < 2$ ”是“ $| x | < 2$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、若集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ， $C = {1, 2, 3}$ ，则集合 $(A \cap B) \cup C =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${0, 1, 2, 3}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2, 3}$

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4、英国数学家泰勒（B.Taylor，1685—1731）发现了：当函数 $f (x)$ 在定义域内n阶可导，则有如下公式： $f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{n!} f^{(n)} (0) x^{n} = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{1}{2!} f^{″} (0) x^{2} + \frac{1}{3!} f^{'''} (0) x^{3} + \dots + \frac{1}{n!} f^{(n)} (0) x^{n} + \dots$ 以上公式称为函数 $f (x)$ 的泰勒展开式，简称为泰勒公式．其中， $n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \dots \times n$ ， $f^{(n)} (x)$ 表示 $f (x)$ 的n阶导数，即 $f (x)$ 连续求n次导数．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：

(1)、写出 $e^{x}$ 的泰勒展开式（至少有5项）；

(2)、设 $f (x) = e^{x} + e^{- x} - 1 - a x^{2}$ ，若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极小值点，求实数a的取值范围；

(3)、若 $e^{8} \approx 100 k$ ， k为正整数，求k的值．

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5、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $C F // D E$ ，且 $A B = C F = \frac{1}{2} D E$ ， M为 $A B$ 中点．

(1)、过M作平面 $α$ ，使得平面 $α$ 与平面 $B E F$ 的平行（只需作图，无需证明）

(2)、试确定（1）中的平面 $α$ 与线段 $E D$ 的交点所在的位置；

(3)、若 $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，在线段 $B C$ 是否存在点P，使得二面角 $B - F E - P$ 的平面角为余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，若存在求出 $\frac{B P}{P C}$ 的值，若不存在，请说明理由．

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6、如图，是南京博物馆展示的一件名为“陶三棱锥”的文物，该文物的出土，为研究吴越文化提供了重要价值，博物馆准备为该文物制作一个透明的球形玻璃外罩进行保护供游客观赏研究，经测量该文物的所有棱长都为 $\sqrt{6}$ 分米，则制作的球形玻璃外罩（玻璃外罩厚度忽略不计）的直径至少为分米．

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7、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 4$ ， M是 $B C$ 中点，且 $\vec{D N} = 2 \vec{N C}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的值为（）

A、32 B、24 C、16 D、8

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8、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点， $C$ 上两点 $A, B$ 满足： $\vec{A F_{2}} = 2 \vec{F_{2} B}$ ， $cos ∠ A F_{1} B = \frac{4}{5}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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9、平面向量 $\vec{a} = (m, 2), \vec{b} = (- 2, 4)$ ，若 $\vec{a} ∥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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10、已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2, 4)$ ，则下列结论正确的是（　　）

A、 $y = f (x)$ 的定义域是 $[0, + \infty)$ B、 $y = f (x)$ 在其定义域内为减函数 C、 $y = f (x)$ 是奇函数 D、 $y = f (x)$ 是偶函数

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11、在 $△ A B C$ 中，点D在边AB上， $B D = 2 D A$ ．记 $\overset{⃑}{C A} = \vec{m} ， \overset{⃑}{C D} = \vec{n}$ ，则 $\overset{⃑}{C B} =$ （）

A、 $3 \vec{m} - 2 \vec{n}$ B、 $- 2 \vec{m} + 3 \vec{n}$ C、 $3 \vec{m} + 2 \vec{n}$ D、 $2 \vec{m} + 3 \vec{n}$

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12、定义一种新运算“ $\oplus$ ”： $x \oplus y = \ln (e^{x} + e^{y})$ ， $x, y \in R$ ，这种运算有许多优美的性质：如 $x \oplus y = y \oplus x$ ， $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)$ 等．已知函数 $f (x) = 2 e^{x} - a ((x - 1) \oplus (x - 1))$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (1)$ 的值；

(2)、设 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，若 $k e^{x_{1} + x_{2}} < \frac{a^{2}}{4}$ 恒成立，求正实数 $k$ 的取值范围．

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13、已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{x} + 4$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、对任意 $x \in [1, e]$ ，不等式 $f (x) \geq \frac{1}{x} + {(x + 1)}^{2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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14、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a x + b}{e^{x}} (x \in R)$ 的一个极值点是 $x = 2$ ．
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，求b的值，并求 $f (x)$ 的单调增区间；
（Ⅱ）设 $a > 0$ ，若 $x \in [0, 3]$ ，使得 $f (x) < \frac{9}{e^{2}}$ 成立，求实数a的范围．

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15、“从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数(所得结果用数值表示)．

(1)、 $A, B$ 必须被选出；

(2)、至少有3名女生被选出．

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16、甲、乙、丙3人从1楼上了同一部电梯，已知 $3$ 人都在 $2$ 至 $6$ 层的某一层出电梯，且在每一层最多只有两人同时出电梯，从同一层出电梯的两人不区分出电梯的顺序，则甲、乙、丙 $3$ 人出电梯的不同方法总数是．

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17、若函数 $f (x) = x {(x + a)}^{2}$ 在 $x = 1$ 处有极大值，则实数 $a$ 的值为.

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18、若 $x$ 满足关系式 $C_{15}^{3 x - 2} = C_{15}^{x + 1}$ ，则 $x =$ ．

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19、已知 $e$ 是自然对数的底数，函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $\frac{f (x)}{x} + \ln x \cdot f^{'} (x) > 0$ ，则（）

A、 $f (\frac{1}{e}) + f (e) > 0$ B、 $f (\frac{1}{e}) < 0$ C、 $f (e) > 0$ D、 $f (1) = 0$

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20、下列各式中与排列数 $A_{n}^{m}$ 相等的是（　　）

A、 $\frac{n!}{(n - m)!}$ B、 $n (n - 1) (n - 2) \dots (n - m)$ C、 $\frac{n A_{n - 1}^{m}}{n - m + 1}$ D、 $A_{n}^{1} A_{n - 1}^{m - 1}$

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