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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，首项 $a_{1} = - \frac{1}{2}$ ，且满足 $S_{n} + \frac{1}{S_{n}} + 2 = a_{n} (n \geq 2)$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、 $- \frac{9}{10}$ B、 $- \frac{10}{9}$ C、 $- \frac{10}{11}$ D、 $- \frac{11}{10}$

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2、已知 $m$ 为满足 $S = n + C_{100}^{2} + C_{100}^{4} + C_{100}^{6} + \cdot \cdot \cdot + C_{100}^{100} (n \geq 3)$ 能被 $9$ 整除的正整数 $n$ 的最小值，则 ${(x - \frac{1}{x})}^{m}$ 的展开式中，系数最大的项为（）

A、第6项 B、第7项 C、第11项 D、第6项和第7项

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3、棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $E$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点，点 $A_{1}$ 到平面 $A B_{1} E$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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4、在平面直角坐标系中，已知两点 $A (1, 1)$ ， $B (- 1, - 1)$ ，点 $P$ 为动点，且直线 $A P$ 与 $B P$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} + 2 y^{2} = 3$ B、 $x^{2} + 2 y^{2} = 3 (x \neq \pm 1)$ C、 $x^{2} - 2 y^{2} = 3 (x \neq \pm 1)$ D、 $2 x^{2} + y^{2} = 3 (x \neq \pm 1)$

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5、已知点 $A$ 为曲线 $y = ln x + \frac{1}{x} + 3$ 上的动点， $B$ 为圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，则线段 $A B$ 长度的最小值是（）

A、3 B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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6、如下表给出5组数据 $(x, y)$ ，为选出4组数据使其线性相关程度最大，且保留第1组数据 $(5, 3)$ ，则应去掉（）
$i$
1
2
3
4
5
$x_{i}$
5
4
3
2
$- 4$
$y_{i}$
3
2
7
1
$- 6$

A、 $(4, 2)$ B、 $(3, 7)$ C、 $(2, 1)$ D、 $(- 4, - 6)$

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7、已知函数 $f (x) = x^{3}$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{Δ x} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8、牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程 $f (x) = 0$ 的其中一个根r在 $x = x_{0}$ 的附近，如图6所示，然后在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处作 $f (x)$ 的切线，切线与x轴交点的横坐标就是 $x_{1}$ ，用 $x_{1}$ 代替 $x_{0}$ 重复上面的过程得到 $x_{2}$ ；一直继续下去，得到 $x_{0}$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ .从图形上我们可以看到 $x_{1}$ 较 $x_{0}$ 接近r， $x_{2}$ 较 $x_{1}$ 接近r，等等.显然，它们会越来越逼近r.于是，求r近似解的过程转化为求 $x_{n}$ ，若设精度为 $ε$ ，则把首次满足 $|x_{n} - x_{n - 1}| < ε$ 的 $x_{n}$ 称为r的近似解.
已知函数 $f (x) = x^{3} - x + 1$ ， $a \in R$ .

(1)、试用牛顿迭代法求方程 $f (x) = 0$ 满足精度 $ε = 0 .5$ 的近似解（取 $x_{0} = - 1$ ，且结果保留小数点后第二位）；

(2)、若 $f (x) + 3 x^{2} + 6 x + 5 + a e^{x} \leq 0$ 对任意 $x \in R$ 都成立，求整数a的最大值.（计算参考数值： $e \approx 2.72$ ， $e^{1.35} \approx 3.86$ ， $e^{1.5} \approx 4.48$ ， ${1.35}^{3} \approx 2.46$ ， ${1.35}^{2} \approx 1.82$ ）

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9、将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标 $x_{i}$ 和区域内该植物分布的数量 $y_{i}$ （ $i = 1$ ， 2，…，15），得到数组 $(x_{i}, y_{i})$ ．已知 $\sum_{i = 1}^{15} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 45$ ， $\sum_{i = 1}^{15} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 8000$ ， $\sum_{i = 1}^{15} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 480$ ．

(1)、求样本 $(x_{i}, y_{i})$ （ $i = 1$ ， 2…，15）的相关系数；

(2)、假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的 $k \in N^{*}$ ，寿命为 $k + 1$ 的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．
（ⅰ）求 $P (X = k)$ （ $k \in N^{*}$ ）的表达式；
（ⅱ）推导该植物寿命期望 $E (X)$ 的值．
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．

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10、2024年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量，抽查了一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为 $(495, 505]$ ， $(505, 515]$ ， …， $(535, 545]$ ，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.

(1)、根据频率分布直方图，求质量超过515克的产品数量和样本平均值 $\bar{x}$ ；

(2)、由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ, {1.25}^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为（1）中的样本平均值 $\bar{x}$ ，计算该批产品质量指标值 $ξ \geq 519.75$ 的概率；

(3)、从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过515克的产品数量，求Y的分布列和数学期望.
附：若 $ξ \sim N (x, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq u + σ) \approx 0.6827$ ，
$P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

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11、若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第 $n (n \in N^{*})$ 次得到的数列的所有项之和记为 $a_{n}$ .

(1)、设第 $n$ 次构造后得的数列为 $1, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{λ}, 2$ ，则 $a_{n} = 3 + x_{1} + x_{2} + \dots + x_{k}$ ，请用含 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}$ 的代数式表达出 $a_{n + 1}$ ，并推导出 $a_{n + 1}$ 与 $a_{n}$ 满足的关系式；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(3)、证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < \frac{1}{3}$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (x + 1) e^{x}, x \leq 0 \\ \frac{ln x}{x}, x > 0 \end{array}$ ，函数 $g (x) = f^{2} (x) - (a + 2) f (x) + 2 a$ ，若函数 $g (x)$ 恰有三个零点，则 $a$ 的取值范围是.

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13、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = 1, a_{n + 2} = (1 + {cos}^{2} \frac{n π}{2}) a_{n} + {sin}^{2} \frac{n π}{2}, n = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot$ ．前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{20} =$ ．

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14、小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次月考排名，但小明记得平均排名 $\bar{y} = 6$ ，于是分别用m＝6和m＝8得到了两条回归直线方程： $y = b_{1} x + a_{1}$ ， $y = b_{2} x + a_{2}$ ，对应的相关系数分别为 $r_{1}$ 、 $r_{2}$ ，排名y对应的方差分别为 $s_{1}^{2}$ 、 $s_{2}^{2}$ ，则下列结论正确的是（）
x
1
2
3
4
5
y
10
m
6
n
2
（附： $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {(\bar{x})}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b \bar{x}$ ）

A、 $r_{1} < r_{2}$ B、 $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$ C、 $b_{1} < b_{2}$ D、 $a_{1} < a_{2}$

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15、下列有关导数的运算和几何意义的说法，正确的是（）

A、若 $f (x) = ln 3$ ，则 $f^{'} (x) = \frac{1}{3}$ B、若 $f (x) = tan x$ ，则 $f^{'} (x) = 1 + {tan}^{2} x$ C、 $f (x) = 2^{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率是 $ln 4$ D、 $f (x) = x^{3} + 1$ 过点 $(2, 5)$ 的切线方程是 $12 x - y - 19 = 0$

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16、“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.请结合“杨辉三角”判断下列叙述，正确的是（）

A、 $C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + C_{5}^{2} + \dots + C_{9}^{2} = 118$ B、第20行中，第11个数最大 C、记第 $n$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} 2^{i - 1} a_{i} = 3^{n}$ D、第34行中，第15个数与第16个数的比为 $3 : 4$

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17、已知函数 $f (x) = 2^{λ x} - \ln x + (λ \ln 2 - 1) x$ ，若对 $\forall x \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (x) \geq 0$ ，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{e}]$ B、 $[\frac{1}{e \ln 2}, + \infty)$ C、 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ D、 $[\ln 2, + \infty)$

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18、假设变量 $x$ 与变量 $Y$ 的 $n$ 对观测数据为 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ ，两个变量满足一元线性回归模型 $\{\begin{array}{l} Y = b x + e, \\ E (e) = 0, D (e) = σ^{2} \end{array}$ .要利用成对样本数据求参数 $b$ 的最小二乘估计 $\hat{b}$ ，即求使 $Q (b) = \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - b x_{i})}^{2}$ 取最小值时的 $b$ 的值，则（）

A、 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}$ B、 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2}}$ C、 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} \cdot \sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2}}}$ D、 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

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19、已知 $S_{n}$ ， $T_{n}$ 分别是等差数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n + 1}{4 n - 2} (n = 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$ ，则 $\frac{a_{7}}{b_{7}} =$ （）

A、 $\frac{27}{50}$ B、 $\frac{41}{78}$ C、 $\frac{43}{82}$ D、 $\frac{23}{42}$

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20、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和．若 $a_{1} = 2 a_{3}$ ，公差 $d \neq 0$ ， $S_{m} = 0$ ，则 $m$ 的值为（）

A、4 B、 $9$ C、6 D、5

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$i$	1	2	3	4	5
$x_{i}$	5	4	3	2	$- 4$
$y_{i}$	3	2	7	1	$- 6$