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1、 $y = f (x)$ 定义域为 $R$ ， $y = f (x + 2)$ 为偶函数， $f (2) = 1$ 且 $f (x) = g (2 x) - g (4 - 2 x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 的图象关于（1，0）对称 B、 $y = f (x)$ 的图象关于 $x = 2$ 对称 C、4为 $y = f (x)$ 的周期 D、 $\sum_{k = 1}^{22} f (k) = 0$

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2、在给出的下列命题中，正确的是（）

A、设 $O, A, B, C$ 是同一平面上的四个点，若 $\vec{O A} = m \cdot \vec{O B} + (1 - m) \cdot \vec{O C} (m \in R)$ ，则点 $A, B, C$ 必共线 B、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是平面 $α$ 上的两个向量，则平面 $α$ 上的任一向量 $\vec{c}$ 都可以表示为 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b} (μ, λ \in R)$ ，且表示方法是唯一的 C、若 $A = 45 °$ ， $a = 2$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 只有一解 D、已知平面向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O A} \cdot \vec{O C}$ ， $\vec{A O} = λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|})$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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3、已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 |x| + 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 在 $(- \infty, - 2]$ 上是单调递增 B、函数 $y = f (x)$ 在 $[- 2, 0]$ 上是单调递增 C、当 $x = 0$ 时，函数 $y = f (x)$ 有最大值 D、当 $x = - 2$ 或 $x = 2$ 时，函数 $y = f (x)$ 有最小值

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4、函数 $f (x) = 3 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象为 $C$ ，则以下结论中正确的是（）

A、图象 $C$ 关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 B、图象 $C$ 关于点 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12})$ 内是增函数 D、 $y = f (x + \frac{π}{6})$ 是偶函数

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5、已知 $\overset{⃑}{A B} ⊥ \overset{⃑}{A C}$ ， $| \overset{⃑}{A B} | = t$ ， $| \overset{⃑}{A C} | = \frac{1}{t}$ ．若点P是△ABC所在平面内一点，且 $\overset{⃑}{A P} = \frac{\overset{⃑}{A B}}{| \overset{⃑}{A B} |} + \frac{2 \overset{⃑}{A C}}{| \overset{⃑}{A C} |}$ ，则 $\overset{⃑}{P B} \cdot \overset{⃑}{P C}$ 的最大值为（）

A、13 B、 $5 - 2 \sqrt{2}$ C、 $5 - 2 \sqrt{6}$ D、 $10 + 2 \sqrt{2}$

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6、《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（）

A、60.08斛 B、171.24斛 C、61.73斛 D、185.19斛

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7、对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ， $x^{2} - 2 m x + 1 > 0$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $(- \infty, 1)$

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8、设 $a = \log_{2} 3$ ， $b = \log_{0.3} 2$ ， $c = {0.3}^{0.3}$ ，则三者的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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9、若 $\frac{a + i}{1 + i} = - 1 + 2 i$ （ $a \in R$ ， $i$ 为虚数单位），则 $a$ 的值为（）

A、1 B、 $- 3$ C、5 D、2

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10、二阶递推公式特征方程是一种常见的数学方法，主要用于求解二阶线性递推数列的通项公式.例如：一个数列满足递推关系 $a_{n + 2} = p a_{n + 1} + q a_{n}$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 为给定的常数（有时也可以是 $a_{0}$ ， $a_{1}$ 为给定的常数），特征方程就是将上述的递推关系转化为关于 $x$ 的二次特征方程： $x^{2} = p x + q$ ，若 $α$ ， $β$ 是特征方程的两个不同实根，我们就可以求出数列的通项公式 $a_{n} = A α^{n} + B β^{n}$ ，其中 $A$ 和 $B$ 是两个常数，可以由给定的 $a_{1}$ ， $a_{2}$ （有时也可以是 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ）求出.

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{n + 2} = - a_{n + 1} + 2 a_{n}$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、若 $a_{n} = \frac{3 - \sqrt{3}}{6} {(2 + \sqrt{3})}^{n}$ ，试求 $a_{2024}$ 的十分位数码（即小数点后第一位数字），并说明理由；

(3)、若定义域和值域均为 $(0, + \infty)$ 的函数 $f (x)$ 满足： $f (f (x)) = 12 x - f (x)$ ，求 $f (x)$ 的解析式

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11、已知 $F$ 为抛物线 $Γ$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，点 $F$ 到抛物线 $Γ$ 的准线的距离为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、试求抛物线 $Γ$ 的方程；

(2)、如图，设动点 $A, B, C$ 都在抛物线 $Γ$ 上，点 $B$ 在 $A, C$ 之间.
（i）若 $A C = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；
（ii）若点 $B$ 坐标为 $(- 1, 1)$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A C = \sqrt{n}$ ，求正整数 $n$ 的最小值.

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12、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x + a ln \frac{x}{e^{x - 1}}$ ， $a \in R$ ， $e$ 为自然对数的底数.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、判断函数 $f (x)$ 能否有3个零点？若能，试求出 $a$ 的取值范围；若不能，请说明理由.

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P C D$ 是正三角形且垂直于底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是矩形， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $E$ ， $F$ 分别是线段 $P D$ ， $P B$ 上的动点

(1)、是否存在点 $E$ ，使得 $C E ⊥$ 平面 $P A D$ ？若存在，试求 $\frac{E P}{P D}$ ；若不存在，请说明理由；

(2)、若直线 $A F$ 与直线 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，试求二面角 $A - D C - F$ 的平面角的余弦值.

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14、两名足球门将甲和乙正在进行扑点球训练.已知甲、乙每次扑中的概率分别是 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{3}{5}$ ，每次扑点球相互独立，互不影响.

(1)、甲扑点球两次，乙扑点球一次，记两人扑中次数的和为 $X$ ，试求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望（用最简分数表示）；

(2)、乙扑点球6次，其扑中次数为 $ξ$ ，试求 $ξ = 4$ 的概率和随机变量 $ξ$ 的方差（用最简分数表示）.

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15、已知关于 $x$ 的不等式 $x ln x + e^{- x} \geq - x^{2} + a x$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立（其中 $e$ 为自然对数的底数），则实数 $a$ 的取值范围为.

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16、甲乙丙丁戊5个人排成一排拍照，要求甲不站在最左端，且甲乙不相邻，则共有种不同的排法.

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17、随机变量 $X \sim N (1, σ^{2})$ ， $P (x \leq 0) = 0.12$ ，则 $P (1 \leq x \leq 2) =$ .

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{4^{n} - 3}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 与数列 $\{4^{n} a_{n} a_{n + 1}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $R_{n}$ ， $T_{n}$ ，则（）

A、 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < \frac{1}{4}$ B、存在 $n$ ，使得 $T_{n} > \frac{1}{3}$ C、 $S_{n} < \frac{43}{39}$ D、 $R_{n} \geq 6 n^{2} - 5 n$

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19、已知点 $P (1, a)$ 不在函数 $f (x) = e^{x}$ （ $e$ 为自然对数的底数）图象上，且过点 $P$ 能作两条直线与 $f (x)$ 的图象相切，则 $a$ 的取值可以是（）

A、 $e$ B、 $\frac{e}{2}$ C、1 D、 $- 1$

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20、已知双曲线 $C$ 的左顶点为 $A$ ，右焦点为 $B$ ， $P$ 为 $C$ 上一点，满足 $|P A| = \sqrt{3}$ ， $|P B| = 1$ ， $|A B| = 2$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} + 2$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\sqrt{2} + 2$ D、2

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