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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $A = \frac{π}{3}$ .

(1)、若 $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，求 $A D$ 的长度；

(2)、若 $A E$ 平分 $∠ B A C$ ，且 $E$ 点在 $B C$ 上，求 $A E$ 的长度.

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2、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 5$ ， $|\vec{b}| = 4$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值；

(2)、求 $|2 \vec{a} + \vec{b}|$ .

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3、当 $n \in N^{*}$ 时，将 $n, n + 1, n + 2 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ 称为一组连续正整数.若存在某个三角形，其三边为一组连续正整数，且最大角是最小角的两倍，其最短边长为.

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4、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 3), \overset{⃑}{b} = (3, 4)$ ，若 $(\overset{⃑}{a} - λ \overset{⃑}{b}) ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $λ =$ ．

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5、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）

A、若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ B、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\sin A > \cos B$ C、若 $A = 60 °$ ，则 $\sin B + \sin C$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ D、若 $\tan A + \tan B + \tan C > 0$ ，则 $△ A B C$ 可以是钝角三角形

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6、在△ $A B C$ 中， $|\overset{⃑}{A B}| = 2, |\overset{⃑}{A C}| = 1$ ， $\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A C} = 2 \overset{⃑}{A P}$ 则（）

A、 $\overset{⃑}{P B} \cdot \overset{⃑}{P C} > 0$ B、 $\overset{⃑}{P B} + \overset{⃑}{P C} = \overset{⃑}{0}$ C、 $\overset{⃑}{P B} = \frac{1}{2} \overset{⃑}{A B} - \frac{1}{2} \overset{⃑}{A C}$ D、 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{B P} = - \frac{3}{4}$

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7、已知 $O$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，则下列结论正确的是（）

A、若 $(\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A C}) \cdot (\overset{⃑}{A B} - \overset{⃑}{A C}) = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、若 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A C} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 C、若 $\overset{⃑}{O B} = \overset{⃑}{A C} - \overset{⃑}{A B}$ ，则 $O$ ， $B$ ， $C$ 三点共线 D、若 $\overset{⃑}{O A} \cdot \overset{⃑}{B C} = 0$ ， $\overset{⃑}{O B} \cdot \overset{⃑}{A C} = 0$ ，则 $\overset{⃑}{O C} \cdot \overset{⃑}{A B} = 0$

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8、在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B = 2 C D = 4$ ， $A D = B C = \sqrt{5}$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点， $F$ 为线段 $B C$ 上的点，则 $\overset{⃑}{E F} \cdot \overset{⃑}{B F}$ 的最小值是（）

A、0 B、 $- \frac{9}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、1

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9、圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3, B C = 4, C D = 5, A D = 6,$ 则 $\cos A =$

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{19}$ D、 $\frac{1}{21}$

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10、已知 $△ A B C$ 中，边 $A B$ 的中线 $C D$ 长为3，若对 $\forall x \in [0, 1]$ ， $(x \overset{⃑}{C B} + (1 - x) \overset{⃑}{C A}) \cdot \overset{⃑}{C D} \geq 9$ 恒成立，则（）

A、 $A C = B C$ B、 $A B = A C$ C、 $∠ A C B = 90 °$ D、 $∠ A B C = 90 °$

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11、设平面向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a}| = 12$ ， $\overset{⃑}{b} = (2, \sqrt{5})$ ， $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = 18$ ，则 $\overset{⃑}{b}$ 在 $\overset{⃑}{a}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{b}$ B、 $\frac{1}{8} \overset{⃑}{b}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⃑}{a}$ D、 $\frac{1}{8} \overset{⃑}{a}$

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12、下列四个命题正确的是（）

A、两个单位向量一定相等 B、若 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 不共线，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 都是非零向量 C、共线的单位向量必相等 D、两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\cos A = \frac{b}{c}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、锐角三角形

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14、若复数 $z$ 满足 $z = \frac{1}{1 + i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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15、对于在区间 $[m, n]$ 上有意义的函数 $f (x)$ ，若满足对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [m, n]$ ，有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq 1$ 恒成立，则称 $f (x)$ 在 $[m, n]$ 上是“友好”的，否则就称 $f (x)$ 在 $[m, n]$ 上是“不友好”的.现有函数 $f (x) = \log_{3} \frac{1 + a x}{x}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，判断函数 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上是否“友好”；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[m, m + 1] (1 \leq m \leq 2)$ 上是“友好”的，求实数 $a$ 的取值范围.

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16、如图所示正四棱锥S-ABCD， $S A = S B = S C = S D = 4$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， P为侧棱SD上的点，且 $S P = 3 P D$ ，求：

(1)、正四棱锥S-ABCD的表面积；

(2)、侧棱SC上是否存在一点E，使得 $B E / /$ 平面PAC.若存在，求 $\frac{S E}{E C}$ 的值；若不存在，试说明理由.

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17、党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的 $L E D$ 灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种 $L E D$ 灯需投入的年固定成本为3万元，每生产 $x$ 万件该产品，需另投入变动成本 $W (x)$ 万元，在年产量不足6万件时， $W (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x$ ，在年产量不小于6万件时， $W (x) = 7 x + \frac{81}{x} - 37$ ．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．

(1)、写出年利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （万件）的函数解析式．（注：年利润 $=$ 年销售收入 $-$ 固定成本 $-$ 变动成本）

(2)、年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？

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18、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, φ \in [0, \frac{π}{2}])$ 的部分图象如图所示，且 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上恰有一个最大值和一个最小值，则 $ω$ 的取值范围是.

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19、已知 $△ A B C$ 的顶点都是球 $O$ 的球面上的点， $A B = 2$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，若三棱锥 $O - A B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则球 $O$ 的表面积为.

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20、已知 $tan (α - \frac{π}{6}) = 2$ ， $tan (α + β) = - 3$ ，则 $tan (β + \frac{π}{6}) =$ .

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