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相关试卷

1、若 $0 < α < β < \frac{π}{2}$ ，且 $c o s α c o s β = \frac{1}{2}, t a n α t a n β = \frac{2}{3}$ ，则（）

A、 $c o s (α + β) = \frac{1}{6}$ B、 $s i n (α - β) = \frac{\sqrt{11}}{6}$ C、 $c o s 2 α = \frac{5}{36}$ D、 $β > \frac{π}{4}$

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2、设 $α$ ， $β \in R$ ，则“ $s i n α = s i n β$ ”是“ $α + β = (2 k + 1) π$ ， $k ∈ Z$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、 $△ A B C$ 中， $c o s A = \frac{1}{4}$ ， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ，则 $B C$ 边上的高为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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4、正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以 $A, B, C, D, E$ 为顶点的多边形为正边边形，设 $∠ C A D = α$ ，则 $c o s α + c o s 2 α + c o s 3 α + c o s 4 α =$ ， $c o s α c o s 2 α c o s 3 α c o s 4 α =$ ．

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5、已知 $c o s (α + 76 5^{∘}) = \frac{1}{4}$ ，则 $c o s α - s i n α =$ .

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6、在平面直角坐标系xOy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点 $M (a, b)$ ， $| O M | = m (m \neq 0)$ ，定义 $f (θ) = \frac{b + a}{m}$ ， $g (θ) = \frac{b - a}{m}$ ，则（）

A、 $f (\frac{π}{6}) + g (\frac{π}{6}) = 1$ B、 $f (θ) + f^{2} (θ) \geq 0$ C、若 $\frac{f (θ)}{g (θ)} = 2$ ，则 $s i n 2 θ = \frac{3}{5}$ D、 $f (θ) g (θ)$ 是周期函数

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7、已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3}) + c o s (2 x - \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为2 B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{8}, \frac{π}{6}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上有2个零点 D、把 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到的图象关于原点对称

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8、已知 $c o s (\frac{π}{4} - θ) = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{c o s 2 θ}{t a n (θ + \frac{π}{4})} =$ （）

A、 $\frac{15}{2}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、 $\frac{15}{7}$ D、 $\frac{15}{8}$

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9、设 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，则函数 $y = \sqrt{s i n x} + \sqrt{c o s x}$ 的最大值为．

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10、一般地，任意给定一个角 $α \in R$ ，它的终边 $O P$ 与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y ，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角 $α$ 的函数.下面给出这些函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫作 $α$ 的正弦函数，记作 $s i n α$ ，即 $y = s i n α$ ；
②把点P的横坐标x叫作 $α$ 的余弦函数，记作 $c o s α$ ，即 $x = c o s α$ ；
③把点P的纵坐标y的倒数叫作 $α$ 的余割，记作 $c s c α$ ，即 $\frac{1}{y} = c s c α$ ；
④把点P的横坐标x的倒数叫作 $α$ 的正割，记作 $s e c α$ ，即 $\frac{1}{x} = s e c α$ .
下列结论正确的有（）

A、 $s e c \frac{5 π}{4} = - \sqrt{2}$ B、 $c o s α \cdot s e c α = 1$ C、函数 $f (x) = s e c x$ 的定义域为 ${x | x \neq k π, k \in Z}$ D、 $s e c^{2} α + s i n^{2} α + c s c^{2} α + c o s^{2} α \geq 5$

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11、已知角 $α$ 的终边过点 $P (1, - 2)$ ，则（）

A、 $\frac{s i n α - c o s α}{2 s i n α + c o s α} = - 1$ B、 $s i n^{2} α - 3 s i n α c o s α = 2$ C、 $c o s 2 α = \frac{3}{5}$ D、 $t a n (α + \frac{π}{4}) = - \frac{1}{3}$

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12、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $c o s (α - \frac{π}{4}) = \sqrt{3} c o s 2 α$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{5}{6}$ B、 $- \frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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13、已知 $α \in (0, \frac{π}{2}), c o s (α + \frac{π}{3}) = - \frac{5}{13}$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{12 + 5 \sqrt{3}}{26}$ B、 $\frac{12 - 5 \sqrt{3}}{26}$ C、 $\frac{12 \sqrt{3} + 5}{26}$ D、 $\frac{12 \sqrt{3} - 5}{26}$

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14、已知函数 $f (x) = a c o s x - e^{x + 1} (a \in R)$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线过点 $(- 1, 2)$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的最小值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(- \frac{2 π}{3}, 0)$ 内零点的个数，并说明理由.

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} + 3 x + 3, g (x) = 2 e^{x + 1} - x - 2$ .

(1)、判断 $g (x)$ 的零点个数；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = g (x)$ 公切线的条数.

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16、已知函数 $f (x) = e^{a x} - x$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的零点个数.

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17、若函数 $f (x) = l n x - \frac{1}{e} x + a$ 有零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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18、已知点 $P (1, m)$ 不在函数 $f (x) = x^{3} - 3 m x$ 的图象上，且过点 $P$ 仅有一条直线与 $f (x)$ 的图象相切，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{1}{4}) ∪ (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty, 0) ∪ (\frac{1}{4}, + \infty)$ C、 $(0, \frac{1}{4}) ∪ (\frac{1}{4}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$

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19、已知 $f (x) = a e^{x} - x$ ， $g (x) = c o s x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性.

(2)、若 $\exists x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) = g (x_{0})$ ，求参数 $a$ 的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = l n (m x) - x (m > 0)$ ．

(1)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，证明 $x_{1} + x_{2} > 2$ ．

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