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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) + B (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的一个对称中心是 $(- \frac{2 π}{3}, 1)$ B、 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (Δ x + \frac{π}{2}) - f (\frac{π}{2})}{2 Δ x} = - 1$ C、将函数 $g (x) = 2 c o s x + 1$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，可得到函数 $f (x)$ 的图象 D、函数 $f (x)$ 在 $x \in (0, a)$ 上有5个零点，则 $a$ 的取值范围为 $(\frac{7 π}{3}, \frac{17 π}{6}]$

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2、在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（）
①函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6}, 0)$ 成中心对称；
②函数 $f (x)$ 的解析式可以为 $f (x) = 2 c o s (2 x - \frac{2 π}{3})$ ；
③函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{13 π}{24}]$ 上的值域为 $[0, 2]$ ；
④若把 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{2}{3}$ 倍，纵坐标不变，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，则所得函数是 $y = 2 s i n (3 x + \frac{π}{12})$

A、①③ B、②③ C、③④ D、①④

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3、函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示， $f (x)$ 的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在 $f (x)$ 图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{6}, 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, - \frac{π}{6})$ 单调递增 D、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 后，得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 为奇函数

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4、已知函数 $f (x) = s i n x c o s x$ ， $g (x) = \frac{1}{2} c o s (2 x - \frac{π}{6})$ ，为了得到函数 $f (x)$ 的图象，可将函数 $g (x)$ 的图象向左平移a个单位或向右平移b个单位，其中 $a, b > 0$ ，若 $| a - b | ≥ λ$ ，则实数λ的取值范围为．

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5、将函数 $f (x) = s i n (2 x + φ)$ 图象上的每个点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，所得的图象关于 $y$ 轴对称，写出一个符合条件的 $φ$ 的值.

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6、 2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A, ω \in N^{*}, | φ | < \frac{π}{3})$ 的图像，而破碎的涌潮的图像近似 $f^{'} (x)$ （ $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数）的图像．已知当 $x = 2 π$ 时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $f (\frac{π}{3}) = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ C、 $f^{'} (x - \frac{π}{4})$ 是偶函数 D、 $f^{'} (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 上单调

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7、把函数 $y = f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{3}$ 倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $y = s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，则 $f (x)$ 的解析式可以为（）

A、 $f (x) = - 2 c o s 2 x$ B、 $f (x) = - 2 c o s (\frac{2}{3} x + \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = \frac{1}{2} c o s (\frac{2}{3} x - \frac{5 π}{6})$ D、 $f (x) = 2 s i n (\frac{2}{3} x - \frac{π}{6})$

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8、设 $ω > 0$ ，将函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{3}) + 4$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3 ω}$ 个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图象.若 $g (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{12}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增，在区间 $[\frac{π}{3}, \frac{5 π}{12})$ 上单调递减，则 $ω =$ （）

A、 $6 k - \frac{3}{2}$ ， $k \in N$ B、 $6 k + \frac{3}{2}$ ， $k \in N$ C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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9、将函数 $f (x) = s i n 2 x + \sqrt{3} c o s 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到 $y = g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x) = 2 s i n 2 x$ B、 $g (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $g (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $g (x) = 2 s i n (2 x + \frac{2 π}{3})$

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10、已知实数 $a$ 满足：① $a \in [0, 2 π)$ ；②存在实数 $b, c (a < b < c < 2 π)$ ，使得 $a$ ， $b$ ， $c$ 是等差数列， $c o s b$ ， $c o s a$ ， $c o s c$ 也是等差数列.则实数 $a$ 的取值范围是.

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11、已知符号函数 $s g n (x) = {\begin{array}{l} 1, x > 0 \\ 0, x = 0 \\ - 1, x < 0 \end{array}$ ，
函数 $\begin{matrix} f (x) = s g n (x - \frac{π}{2}) + s i n 2 x, g (x) = 2^{x} - 2^{π - x}, \end{matrix}$ 则下列说法正确的是（）

A、 $s g n (x - \frac{π}{2}) > 0$ 的解集为 $(\frac{π}{2}, + \infty)$ B、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的周期为 $π$ C、函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2}, 0)$ 对称 D、方程 $f (x) = g (x)$ 的所有实根之和为 $2 π$

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12、如图，将边长为1的正 $△ A B C$ 以边 $A B$ 为轴逆时针翻转 $θ$ 弧度得到 $△ A B C^{'}$ ，其中 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，构成一个三棱锥 $C^{'} - A B C$ ．若该三棱锥的外接球半径不超过 $\frac{\sqrt{13}}{6}$ ，则 $θ$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{π}{6}]$ B、 $(0, \frac{π}{4}]$ C、 $(0, \frac{π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$

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13、函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象先向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象，若关于 $x$ 的方程 $g (x) - m = 0$ 在 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 上有两个不等实根 $x_{1}, x_{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围，并求 $g (x_{1} + x_{2})$ 的值．

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14、已知函数 $f (x) = s i n ω x$ ，其中 $ω > 0$ ， $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ .若将方程 $f (x) = f^{'} (x)$ 的所有非负解从小到大排成一个等差数列 ${a_{n}} (n \geq 1)$ ，其公差为 $3 ω π$ ，则 $a_{10}$ 的值为.

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15、已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} (x - \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 最小正周期为 $2 π$ B、 $x = \frac{π}{6}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $(\frac{5 π}{12}, 1)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ 上单调

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16、已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ ， $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 的对称轴，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3})$ 上单调．

(1)、从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得 $f (x)$ 的解析式存在，并求出其解析式；
条件①：函数 $f (x)$ 的图象经过点 $A (0, \frac{1}{2})$ ；
条件②： $(\frac{π}{3}, 0)$ 是 $f (x)$ 的对称中心；
条件③： $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 是 $f (x)$ 的对称中心.

(2)、根据（1）中确定的 $f (x)$ ，求函数 $y = f (x) (x \in [0, \frac{π}{2}])$ 的值域．

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17、已知函数 $f (x) = s i n x \cdot c o s (x + \frac{π}{6})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、若 $x \in [0, \frac{5 π}{6}]$ ，方程 $f (x) - m = 0$ 有两个实数解，求实数m的取值范围．

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18、函数 $y = t a n (3 x - \frac{π}{4})$ 的定义域是．

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19、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 与角 $β$ 均以 $O x$ 为始边，它们的终边关于原点对称.若 $α \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ ，则 $c o s β$ 的最大值为．

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20、关于函数 $f (x) = | t a n x |$ 的性质，下列叙述正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{k π}{2} (k \in Z)$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(k π, k π + \frac{π}{2}) (k \in Z)$ 上单调递增

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