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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的重心， $c o s A = \frac{1}{5}$ ， $A O = 2$ ，则（）

A、 $\vec{A O} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} \leq 3$ C、 $△ A B C$ 的面积的最大值为 $3 \sqrt{6}$ D、 $a$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$

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2、若平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，且 $t = \frac{1}{2}$ 时， $| \vec{a} - t \vec{b} |$ 取得最小值，则 $⟨ \vec{a}, \vec{b} ⟩ =$ （）

A、0 B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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3、如图，在平行四边形ABCD中， $A D = 2 \sqrt{3}, c o s ∠ B A D = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， E是边BC的中点，F是CD上靠近D的三等分点，若 $\vec{A E} \cdot \vec{B F} = 6$ ，则 $| \vec{A B} | =$ （）

A、4 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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4、设 $A$ ， $B$ ， $C$ 是 $△ A B C$ 的三个内角， $△ A B C$ 的外心为 $O$ ，内心为 $I$ ． $\vec{O I} \neq \vec{0}$ 且 $\vec{O I}$ 与 $\vec{B C}$ 共线．若 $k t a n A = \frac{1}{t a n \frac{B}{2}} + \frac{1}{t a n \frac{C}{2}}$ ，则 $k =$ ．

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5、已知 $▱ A B C D$ 在平面直角坐标系中， $\vec{A B} = (4, 2), \vec{D A} = (0, - 3)$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ ．

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6、下列说法不正确的是（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同或者相反 B、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量，且 $\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |} = \frac{\vec{b}}{| \vec{b} |}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线 C、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则存在唯一的实数 $λ$ 使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ D、若 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是两个单位向量，且 $| \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}} | = 1$ ，则 $| \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}} | = \sqrt{2}$

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7、已知 $| \vec{a} | = 2, \vec{b} = (\sqrt{2}, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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8、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1, | \vec{c} | = \sqrt{2}$ ，且 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $c o s 〈 \vec{a} - \vec{c}, \vec{b} - \vec{c} 〉 =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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9、在凸四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = \sqrt{7}, ∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ .

(1)、若 $B D = 2 \sqrt{7}, c o s ∠ A B D = \frac{1}{7}$ .求 $C D$ 的长；

(2)、若四边形 $A B C D$ 有外接圆，求 $A D + C D$ 的最大值.

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10、海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点 $A$ 处测得塔顶 $D$ 的仰角为 $4 5^{°}$ ，然后沿点 $A$ 向塔的正前方走了38m到达点 $B$ 处，此时测得塔顶 $D$ 的仰角为 $7 5^{°}$ ，据此可估计海宝塔的高度约为m.（计算结果精确到0.1）

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11、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $c = 2$ ， $b = 4$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ ，则 $B C$ 边上的中线 $A D$ 长为 $\sqrt{7}$ B、若 $B = \frac{π}{3}$ ， $b = 2$ ， $c = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 有两个解 C、若 $△ A B C$ 不是直角三角形，则一定有 $t a n A + t a n B + t a n C = t a n A t a n B t a n C$ D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则一定有 $s i n A + s i n B + s i n C > c o s A + c o s B + c o s C$

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12、在△ABC中，内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ， $2 a c o s A = b c o s C + c c o s B$ ，且 $a = 4 s i n A$ ，则△ABC周长的最大值为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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13、 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $c o s 2 B + c o s 2 C - c o s 2 A$ $= 1 - 2 s i n B s i n C$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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14、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c ，若b=2，且 $c o s C = \frac{a}{2} - \frac{c}{4}$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，求 $△ A B C$ 面积的取值范围．

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15、在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 2$ ，则 $A B + \sqrt{3} B C$ 的最大值为．

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16、在△ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，设△ABC的面积为S ，其中 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $b^{2} + c^{2} = 24$ ，则S的最大值为．

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17、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 6 0^{∘}, A B = 6, A C = 3$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $B D = 2 D C$ ，则 $A D =$ .

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18、如图，为了测量障碍物两侧A ， B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（）

A、a ， b ， $γ$ B、 $α$ ， $β$ ， $γ$ C、a ， $β$ ， $γ$ D、 $α$ ， $β$ ， b

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19、某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有

A、在水平地面上任意寻找两点 $A$ ， $B$ ，分别测量旗杆顶端的仰角 $α$ ， $β$ ，再测量 $A$ ， $B$ 两点间距离 B、在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为 $h$ ，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角 $α$ 和 $β$ C、在地面上任意寻找一点 $A$ ，测量旗杆顶端的仰角 $α$ ，再测量 $A$ 到旗杆底部的距离 D、在旗杆的正前方 $A$ 处测得旗杆顶端的仰角 $α$ ，正对旗杆前行5m到达 $B$ 处，再次测量旗杆顶端的仰角 $β$

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20、如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $∠ B C D = 23 °$ ， $∠ C D B = 30 °$ ， $C D = 11.2 m$ ，在 $C$ 点测得甲秀楼顶端 $A$ 的仰角为 $72.4 °$ ，则甲秀楼的高度约为（参考数据： $t a n 72.4 ° \approx 3.15$ ， $s i n 53 ° \approx 0.8$ ）（）

A、 $20 m$ B、 $21 m$ C、 $22 m$ D、 $23 m$

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