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1、设向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，当且仅当 $x_{1} \geq x_{2}$ ，且 $y_{1} > y_{2}$ 时，则称 $\vec{a} ≫ \vec{b}$ ；当且仅当 $x_{1} < x_{2}$ ，且 $y_{1} \leq y_{2}$ 时，则称 $\vec{a} ≪ \vec{b}$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $\vec{a} ≫ \vec{b}$ 且 $μ \vec{a} ≫ λ \vec{b}$ ，则 $μ \geq λ$ B、若 $\vec{a} = (2022, 2024)$ ， $\vec{b} = (2023, 2025)$ ，则 $\vec{a} ≪ \vec{b}$ C、若 $\vec{a} ≫ \vec{b}$ ，则对于任意向量 $\vec{c}$ ，都有 $(\vec{a} + \vec{c}) ≫ (\vec{b} + \vec{c})$ D、若 $\vec{a} ≪ \vec{b}$ ，则对于任意向量 $\vec{c}$ ，都有 $\vec{a} \cdot \vec{c} ≤ \vec{b} \cdot \vec{c}$

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2、设向量 $\vec{a} = (x, 3)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，若对任意的正数 $m$ ， $n$ ，向量 $m \vec{a} + n \vec{b}$ 始终具有固定的方向，则（）

A、 $x = 6$ B、 $x = 0$ C、 $x = 3$ D、 $x = - \frac{3}{2}$

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3、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $\vec{A D} = \frac{2}{5} \vec{B C}$ .

(1)、用 $\vec{B A}$ ， $\vec{B C}$ 表示 $\overset{⇀}{A C}$ ， $\vec{B D}$ ， $\vec{C D}$ ；

(2)、若 $A B = A D = 2$ ，且 $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = 9$ ，求 $∠ A B C$ 的大小.

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4、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 3)$ ， $\vec{b} = (2, - 4)$ ， $\vec{c} = (4, - 6)$ .

(1)、若 $\vec{c} = x \vec{a} + y \vec{b}$ ，求实数 $x$ ， $y$ 的值；

(2)、若 $(t \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，求实数 $t$ 的值.

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5、在四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 5$ ， $∠ A = 3 0^{∘}$ ，点E在线段CB的延长线上，且 $A E = B E$ ，则 $\vec{B D} \cdot \vec{A E} =$ .

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6、如图，矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 中点， $A E$ 与 $B D$ 交于点 $F$ ，若将 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ 作为平面向量的一个基，则向量 $\vec{A F}$ 可表示为（用 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 表示）.

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7、若向量 $\vec{a} = (x, 4)$ 与向量 $\vec{b} = (1, x)$ 是共线向量，则实数 $x$ = ．

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8、已知平面向量 $\vec{O A}$ 、 $\vec{O B}$ 、 $\vec{O C}$ 为三个单位向量，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，若 $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ （ $x, y \in R$ ），则 $x + y$ 的可能取值为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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9、用下列 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 能表示向量 $\vec{a} = (3, 2)$ 的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (6, 4)$ ， $\vec{e_{2}} = (9, 6)$ B、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (5, - 2)$ C、 $\vec{e_{1}} = (3, 5)$ ， $\vec{e_{2}} = (6, 10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (- 2, 3)$

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10、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (m + 1, 2 m - 4)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) / / (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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11、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ， $\vec{c} = (2 k - 1, 1 - k)$ ，若 $(\vec{c} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $k =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、3 D、1

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 内，已知点 $A (- 1, 1), \vec{A B} = (1, - 2)$ ，则 $\vec{O B} =$ （）

A、 $(2, - 3)$ B、 $(0, - 1)$ C、 $(- 2, 3)$ D、 $(0, 1)$

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13、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ， $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A E}$ ，若 $\vec{A F} = m \vec{A B} + n \vec{A D}$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、1

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14、已知向量 $\vec{A B} = (3, m - 3)$ ， $\vec{B C} = (2, 4)$ ，若 $A, B, C$ 三点共线，则 $m =$ .

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15、已知 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (- 1, 3)$ ，若 $(k \vec{a} + \vec{b}) / / (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $k$ 的取值为.

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16、已知向量 $\vec{O A}, \vec{O B}, \vec{O P}$ 满足 $| \vec{O A} | = 1$ ， $| \vec{O B} | = 2$ ， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ， $\vec{O P} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ .则下列说法正确的是（）

A、若点P在直线AB上运动，当 $λ μ$ 取得最大值时， $| \vec{O P} |$ 的值为 $\sqrt{5}$ B、若点P在直线AB上运动， $\vec{O A}$ 在 $\vec{O P}$ 上的投影的数量的取值范围是 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, 1]$ C、若点P在以r= $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 为半径且与直线AB相切的圆上， $| \vec{O P} |$ 取得最大值时， $λ + μ$ 的值为3 D、若点P在以r= $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 为半径且与直线AB相切的圆上， $λ + μ$ 的范围是 $[- 1, 3]$

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17、已知向量 $\vec{O A}$ ＝（1，－3）， $\vec{O B}$ ＝（2，－1）， $\vec{O C}$ ＝（m＋1，m－2），若点A ， B ， C能构成三角形，则实数m可以是（　　）

A、－2 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、－1

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, 5 λ + 4)$ ， $\vec{b} = (2 + λ, 8)$ ，其中 $λ \geq 0$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) =$ （）

A、40 B、48 C、51 D、62

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19、已知向量 $\vec{a} = (3, 4)$ ， $\vec{b} = (1, - 7)$ ，则（）

A、 $\vec{a} / / (\vec{a} + \vec{b})$ B、 $\vec{a} / / (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ D、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$

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20、如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形 $Γ$ ，其中正六边形边长为1．设 $\vec{A G} = x \vec{A B} + y \vec{A I}$ ，则 $x + y =$ ； $P$ 是平面图形 $Γ$ 边上的动点，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B P}$ 的取值范围是．

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