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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 的面积记为 $S$ ，若 $a = 4, A = 6 0^{∘}$ ，则（）

A、 $2 S = \sqrt{3} \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ B、 $△ A B C$ 的外接圆周长为 $\frac{16 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $S$ 的最大值为 $4 \sqrt{3}$ D、若 $M$ 为线段 $A B$ 的中点，且 $C M = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，则 $S = 4 \sqrt{3}$

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2、定义两个非零平面向量的一种新运算 $\vec{a} * \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cdot s i n 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ ，其中 $〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ 表示 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角，则对于两个非零平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，下列结论一定成立的有（）

A、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $| \vec{a} | s i n 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 \cdot \frac{\vec{b}}{| \vec{b} |}$ B、 $(\vec{a} * \vec{b})^{2} + (\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} = | \vec{a} |^{2} | \vec{b} |^{2}$ C、 $λ (\vec{a} * \vec{b}) = (λ \vec{a}) * \vec{b}$ D、若 $\vec{a} * \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $M (\frac{a^{2}}{c}, m)$ ， $N (\frac{a^{2}}{c}, n)$ ，若以 $M N$ 为直径的圆过椭圆 $C$ 的右焦点 $F (c, 0)$ ，且 $(\vec{O M} - \sqrt{2} \vec{O F}) \cdot (\vec{O M} + \sqrt{2} \vec{O F}) = \vec{O M} \cdot \vec{N M}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$

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4、在 $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ， $A B = 4$ ， $∠ C B A = \frac{π}{2}$ ，设点 $D$ 为 $A C$ 的中点， $E$ 在 $B C$ 上，且 $\vec{A E} \cdot \vec{B D} = 0$ ，则 $\vec{B C} \cdot \vec{A E} =$ （）

A、16 B、12 C、8 D、 $- 4$

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5、已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 3 ， \vec{a} - \vec{b} = (2, \sqrt{6})$ ，则 $| 3 \vec{a} + \vec{b} | =$ .

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6、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} | = 6, | \vec{a} + k \vec{b} | = 3 \sqrt{7}, \vec{a} \cdot \vec{b} = 9$ ，则实数 $k$ 的值为．

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7、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{6}$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角可以为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{7}$ C、 $\frac{3 π}{8}$ D、 $\frac{5 π}{9}$

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8、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是平面上的三个非零向量，那么（）

A、若 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ B、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ C、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量相同

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9、已知向量 $\vec{a} = (1, t)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角等于（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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10、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为150°，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，则 $| \vec{a} - \sqrt{3} \vec{b} | =$ （）

A、1 B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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11、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个单位向量，若 $\vec{e_{1}}$ 在 $\vec{e_{2}}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{e_{2}}$ ，则 $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 的夹角为.

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12、在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D,$ $A D = 1, A B = 3, C D = 1,$ $\vec{A C} \cdot \vec{A B} = \frac{3}{2}$ ，点 $M$ 满足 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ ，则 $∠ B A D =$ ；若 $B D$ 与 $C M$ 相交于点 $P$ ， $N$ 为线段 $A C$ 延长线上的动点，则 $\vec{N P} \cdot \vec{N B}$ 的最小值为．

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13、已知向量 $\vec{a} = (s i n θ, c o s θ)$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{c} = (3, \sqrt{3})$ ，则（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t a n θ = - \sqrt{3}$ B、 $\vec{c}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ C、存在 $θ$ ，使得 $\vec{a}$ 在 $\vec{c} - \vec{b}$ 方向上投影向量的模为1 D、 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的取值范围为 $[1, 3]$

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14、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，则（）

A、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{7}$ C、 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | = | 2 \vec{b} |$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 的方向上的投影向量为 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{b}$

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15、已知 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为 $150 °$ ，且 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 9$ B、 $- 3$ C、3 D、9

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16、已知 $| \vec{b} | = 2 | \vec{a} |$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $- \frac{3}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{2} \vec{b}$

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17、在边长为4的正方形 $A B C D$ 中， $P$ 在正方形（含边）内，满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若点 $P$ 在 $B D$ 上时，则 $x + y = 1$ B、 $x + y$ 的取值范围为 $[1, 4]$ C、若点 $P$ 在 $B D$ 上时， $\vec{A P} + \vec{A C} = 2 x \vec{A B} + 2 y \vec{A D}$ D、当 $P$ 在线段 $B D$ 上时， $\frac{x^{2} + y^{2}}{3}$ 的最小值为 $\frac{1}{6}$

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18、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ ，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左支交于点A ，与双曲线 $C$ 的一条渐近线在第一象限交于点 $B$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 2 | O B |$ （O为坐标原点）.下列四个结论正确的是（）
① $| B F_{1} | = \sqrt{4 c^{2} - {| B F_{2} |}^{2}}$ ；
②若 $\vec{A B} = 2 \vec{F_{1} A}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率 $\frac{1 + \sqrt{10}}{2}$ ；
③ $| B F_{1} | - | B F_{2} | > 2 a$ ；
④ $c - a < | A F_{1} | < \sqrt{2} c - a$ .

A、①② B、①③ C、①②④ D、①③④

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19、在正四面体ABCD中，P是 $△ A B C$ 内部或边界上一点，满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ， $λ + μ = \frac{1}{2}$ ．

(1)、证明：当 $| D P |$ 取最小值时， $D P ⊥ B C$ ；

(2)、设 $\vec{D P} = x \vec{D A} + y \vec{D B} + z \vec{D C}$ ，求 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 的取值范围．

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20、已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x, y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A P} = (x c o s θ - y s i n θ, x s i n θ + y c o s θ)$ ，叫做把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点 $P$ .现将双曲线 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上的每个点 $M$ 绕坐标原点 $O$ 沿逆时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 后得到曲线 $C$ ，则曲线 $C$ 的方程为．

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