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相关试卷

1、已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 3$ ，且满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1$ （ $n \in N^{*}$ ）．

(1)、求证：数列 ${a_{n} - 1}$ 为等比数列；

(2)、记 $b_{n} = l o g_{2} (a_{n} - 1)$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，并证明 $\frac{1}{2} \leq S_{n} < 1$ ．

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2、记等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， ${b_{n}}$ 是正项等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 2, S_{10} = 11 a_{5}, b_{3} - b_{2} = a_{2}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明 ${\frac{n}{a_{n} \cdot b_{n}}}$ 是等比数列．

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3、已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n} = 2 a_{n} - 4 n + 2$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n} + 4}$ 为等比数列；

(2)、令 $b_{n} = \frac{2}{a_{n} + 4}$ ，若 $b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n} < \frac{13}{20}$ ，求满足条件的最大整数 $n$ .

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4、已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = \frac{3}{2} (a_{n} - 1) (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入n个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $\frac{3^{n}}{50}$ 的等差数列，求 $n$ ．

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5、设 ${a_{n}}$ 是首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ 的等差数列； ${b_{n}}$ 是首项为 $b_{1}$ ，公比为 $q$ 的等比数列．已知数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - n + 2^{n} - 1$ ， $n \in N^{*}$ ，则（）

A、 $a_{1} = - 2$ B、 $b_{1} = 1$ C、 $d + q = 4$ D、 $d = 1$

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6、若 $α 、 β \in R (α β \neq 0)$ ， $α 、 β 、 α^{2}$ 成等差数列， $β 、 α^{2} 、 β^{2}$ 成等比数列，则题中等比数列的公比可以是：（）.

A、 $\frac{2 \sqrt{5} - 3}{2}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ D、 $1$

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7、已知 $a = 5 + 2 \sqrt{6}$ ， $c = 5 - 2 \sqrt{6}$ ，若a ， b ， c三个数成等比数列，则 $b =$ （）

A、5 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 1$ 或1

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8、设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，则 $\frac{a_{6} + a_{9}}{a_{3} + a_{6}} =$ （）

A、4 B、8 C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{4}$

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9、已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = 3 a_{n + 1} - 3$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${S_{n}}$ 的前n项和.

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10、设等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，前n项和 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $S_{5} = 5 S_{3} - 4$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、 $\frac{15}{8}$ B、 $\frac{65}{8}$ C、15 D、40

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11、随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为．

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12、已知数列 ${a_{n}}$ 是公差为 $d (d \neq 0)$ 的等差数列，若它的前 $2 m (m > 1)$ 项的和 $S_{2 m} = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $d < 0$ ，使 $a_{n} > 0$ 的最大 $n$ 的值为 $m$ B、 $S_{m}$ 是 $S_{n}$ 的最小值 C、 $3 a_{m}^{2} + a_{m + 2}^{2} = a_{m - 1}^{2} + 3 a_{m + 1}^{2}$ D、 $a_{m - 1}^{2} + a_{m}^{2} = a_{m + 1}^{2} + a_{m + 2}^{2}$

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13、已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = 2021 - 5 n$ ，则使 $S_{n} < 0$ 时的 $n$ 的最小值为 .

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14、已知在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} a_{4} = 16$ ，且 $a_{3}, 10, \frac{a_{6}}{2}$ 成等差数列，则 $a_{1} + a_{4} + a_{7} =$ （）

A、157 B、156 C、74 D、73

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15、已知数列 ${a_{n}}$ 的前项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} - n a_{n} = \frac{1}{2} n (n - 1)$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n}}$ 为等差数列；

(2)、若 $a_{5}$ ， $a_{9}$ ， $a_{11}$ 成等比数列，求 $S_{n}$ 的最大值．

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16、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为0，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} a_{3} = a_{1} a_{8}$ ， $S_{7} = - 49$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{2}{a_{n} (2 n + 1)}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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17、在公差大于零的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{5}$ ， $\sqrt{7} a_{3}$ ， $a_{11}$ 成等比数列，若 $a_{2} = 5$ ，则 $a_{3} + a_{7} =$ .

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18、已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ，且 $a_{2} + 4$ ， $a_{3} + 4$ ， $a_{4} - 2$ 成等差数列，则数列 ${a_{n}}$ 公比为.

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19、已知首项为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $(S_{15} - S_{11}) (S_{15} - S_{12}) < 0$ ，则（）

A、 $a_{13} + a_{14} > 0$ B、 $S_{11} < S_{15} < S_{12}$ C、当 $n = 14$ 时， $S_{n}$ 取最大值 D、当 $S_{n} < 0$ 时， $n$ 的最小值为27

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20、在数列 ${a_{n}}$ 中， $\forall n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ， $a_{n + 1} + a_{n - 1} = a_{1} a_{n}$ ，记 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，则 $a_{3} = 1$ B、若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，则 $a_{n} = a_{n + 4}$ C、若 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 3$ ，则 $a_{n} = n + 1$ D、若 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 3$ ，则 $S_{20} = 230$

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