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相关试卷

1、已知某扇形的圆心角为120°，弧长为 $2 πcm$ ，则此扇形的面积为 ${cm}^{2}$ .

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2、定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，满足 $f (x) = - f (2 - x)$ ，当 $x \in (- 1, 0]$ 时， $f (x) = - x - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (\frac{2027}{2}) = \frac{1}{2}$ C、函数 $y = f (x) - {(x - 1)}^{3}$ 的所有零点之和为5 D、 $f (e^{0.1} - 1) > f (\ln \frac{1}{1.1})$

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3、已知 $\sin (\frac{π}{3} + α) = \frac{2}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\cos (α - \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\cos (2 α - \frac{π}{3}) = - \frac{1}{9}$ C、 $\cos (α + \frac{5 π}{6}) = - \frac{2}{3}$ D、若 $α \in (0, π)$ ， $\cos α = \frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{5}}{6}$

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4、若 $b > a > 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a < \sqrt{a b} < \frac{a + b}{2} < b$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $\frac{\log_{2} a + \log_{2} b}{2} < \log_{2} \frac{a + b}{2}$ D、 $2^{b - a} > {(b - a)}^{2}$

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5、若关于 $x$ 不等式 $\ln (a x) \leq x + b$ 恒成立，则当 $\frac{1}{e} \leq a \leq e$ 时， $e^{b + 1} - \ln a$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{e} + 1$ B、 $e - 1$ C、1 D、 $e$

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6、已知 $3^{m} = 4$ ， $4^{m} - a = 4$ ， $2^{m} - b = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a < b$ B、 $a > b$ C、 $a = b$ D、 $a = - b$

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7、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (1) = 0$ ， $f^{'} (x) > f (x)$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 1) \cup (1, + \infty)$

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8、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = \frac{3 e^{x} - 1}{e^{x} - 1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有两个零点 B、当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{e^{x} - 3}{e^{x} - 1}$ C、 $f (x) > 0$ 的解集是 $(- \infty, - \ln 3)$ D、 $\forall m \in R$ ， $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $f (x_{0}) = m$

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9、若函数 $f (x) = a \ln x + \frac{3}{x} - x$ 既有极大值也有极小值，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 2 \sqrt{3})$ B、 $(- \infty, - 2 \sqrt{3}) \cup (2 \sqrt{3}, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2 \sqrt{3})$ D、 $(2 \sqrt{3}, + \infty)$

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10、已知角 $α$ 的终边经过点 $(\sin \frac{5 π}{6}, \cos \frac{5 π}{6})$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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11、已知 $\tan α = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{\sin α - \cos α}{\sin α + 3 \cos α} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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12、已知集合 $A = \{x ||2 x - 1| \leq 3\}$ ， $B = \{x \in N |x^{2} - 4 x \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 2)$ B、 $[0, 2]$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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13、已知 $p$ 为正整数，集合 $S_{p} = \{a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{p}\}$ 中， $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{p}$ 依次构成公比为 $k (k > 1)$ 的正项等比数列.
集合 $T$ 为 $S_{p}$ 的非空子集.若 $T$ 中只有一个元素或 $T$ 中任意两个元素 $a_{i}, a_{j} (1 \leq i < j \leq p)$ 都满足 $\frac{a_{j}}{a_{i}} > k^{m} (m \in N^{*})$ ，则称 $T$ 为 $S_{p}$ 的“ $m$ -分离子集”.记数列 $\{c_{n}\}$ 为 $x^{n + 1} - x^{n} - 1$ 的正零点.

(1)、写出 $S_{4}$ 的所有2-分离子集；

(2)、记 $S_{p}$ 的“1-分离子集”的数量为 $f_{1} (p)$ ，证明： $f_{1} (p) > c_{1}^{p} - 1$ ；

(3)、在 $S_{p}$ 中的所有非空子集中等概率地选取一个子集 $T$ ，证明： $T$ 为 $S_{p}$ 的“ $m$ -分离子集”的概率大于 $\frac{c_{m}^{p} - 1}{2^{p} - 1}$ .

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14、已知函数 $f (x) = a x^{3} - x^{2} - 2 \cos x$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(π, f (π))$ 处的切线过原点，求 $a$ 的取值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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15、如图所示，正四面体 $O - A B C$ 棱长为4， $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 分别在棱 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ 上， $A_{1} B_{1} = B_{1} C_{1} = 1$ .

(1)、求 $B B_{1}$ 的最小值；

(2)、求三棱锥 $O - B A_{1} C_{1}$ 体积最大时 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积.

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16、已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 过 $(\sqrt{14}, \sqrt{3})$ 和 $(7, 3 \sqrt{2})$ 两点.

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $S$ ， $T$ 为双曲线 $C$ 上不关于坐标轴对称的两点， $M$ 为 $S T$ 中点，且 $S T$ 为圆 $G$ 的一条非直径的弦，记 $G M$ 斜率为 $k_{1}$ ， $O M$ 斜率为 $k_{2}$ ，证明： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值.

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17、已知在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边， $△ A B C$ 的面积为 $b^{2} \sin C$ .

(1)、求 $\frac{\sin A}{\sin B}$ 的值；

(2)、若 $c = 5$ ，证明： $\frac{10}{3} < a < 10$ .

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18、设定义域为 $(0, + \infty)$ 的单调递增函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = 2 f (x - 1) + x - 2 (x \geq 2)$ ，且 $f (1) = 1$ ，则 $x \in N^{*}$ 时， $f (x) =$ ，若实数 $a$ ， $b$ 满足对任意符合题意的 $f (x)$ 都有 $a \leq f (\frac{2025}{7}) \leq b$ ，则 $\log_{2} (b - a)$ 的最小值为.

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19、已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $V_{1}$ ，三棱锥 $A - B_{1} C D$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{2}}{V_{1}} =$ .

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20、对称性是数学美的一个重要特征，函数的对称性是函数的重要性质.已知函数 $f (x)$ 的图像连续不断，且在定义域内有导函数 $f^{'} (x)$ ，则下列说法正确的有（）

A、若函数 $f (x)$ 的图像关于点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 对称，则函数 $f^{'} (x)$ 的图像关于直线 $x = x_{0}$ 对称 B、若 $f^{'} (x)$ 单调， $x_{0}$ 在 $f (x)$ 定义域内，则函数 $f (x)$ 的图像上可能存在关于 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 对称的两点 C、若 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的极值点，则“函数 $f (x)$ 的图像上存在关于直线 $x = x_{0}$ 对称的两点”是“函数 $f^{'} (x)$ 的图像上存在关于 $(x_{0}, 0)$ 对称的两点”的充分不必要条件 D、若函数 $f (x) = x \ln x$ ，则当且仅当 $\frac{1}{e} < x_{0} < \frac{1}{2}$ 时， $y = f (x)$ 的图像上存在关于直线 $x = x_{0}$ 对称的两点.参考数据： $\lim_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0$

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