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相关试卷

1、若 $sin α \cdot tan α = \frac{15}{4}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $- \frac{7}{8}$ C、 $\frac{15}{16}$ D、 $- \frac{15}{16}$

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5} = 11, S_{10} = 24$ ，则 $S_{15} =$ （）

A、34 B、39 C、42 D、45

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3、在平面直角坐标系中，已知两点 $A (0, 1), B (0, - 1)$ ，点 $M$ 为动点，且直线 $A M$ 与 $B M$ 的斜率之积为 $\frac{1}{2}$ ，则点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} + 2 y^{2} = 2 (x \neq 0)$ B、 $2 x^{2} - y^{2} = 2 (x \neq 0)$ C、 $x^{2} - 2 y^{2} = 2 (x \neq 0)$ D、 $2 y^{2} - x^{2} = 2 (x \neq 0)$

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4、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 2 x \geq 0\}, B = {x ∣ ln x > 0}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, 2)$

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5、设 $z = \frac{2 + 4 i}{1 - 3 i}$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、1 B、-1 C、 $- i$ D、 $i$

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6、如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD．

(1)、若 $A D = 2$ ，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，记 $∠ B A C ， ∠ A B C ， ∠ A C B$ 的对边分别为a，b，c，且满足 $(c + b) b = a^{2}$
①求证： $∠ B A C = 2 ∠ A B C$ ；
②求 $\frac{c + 4 b}{b \cos ∠ A B C}$ 的最小值．

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7、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，侧面 $P A D$ 为正三角形，底面 $A B C D$ 为矩形，M是PD的中点，且 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ．

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $A M$ 与直线 $P B$ 所成角的余弦值；

(3)、求平面 $A B M$ 与平面 $P B C$ 所成二面角的正弦值．

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8、已知甲船在A海岛正北方向 $15 \sqrt{3}$ 海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南 $60 °$ 的方向航行．

(1)、甲船航行3小时到达C处，求AC；

(2)、在A海岛西偏南 $60 °$ 方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由．

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9、一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下：
分组
频数
频率
$[12, 14)$
10
0.1
$[14, 16)$
x
0.15
$[16, 18)$
20
0.2
$[18, 20)$
30
y
$[20, 22)$
15
0.15
$[22, 24)$
5
0.05
$[24, 26]$
5
0.05
合计
100
1.00

(1)、请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图；

(2)、请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）；

(3)、为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过 $60 %$ 的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议．

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10、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，P分别为 $C D$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证：直线 $D P / /$ 平面 $A B_{1} E$ ；

(2)、求点A到平面 $B B_{1} E$ 的距离．

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11、已知点 $G, O$ 在 $△ A B C$ 所在平面内，满足 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}, | \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} |$ ，且 $\vec{A G} \cdot \vec{A O} = 3$ ， $| \vec{A G} | = \sqrt{2}$ ，则边BC的长为．

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12、某班有男学生20人、女学生30人，为调查学生的课后阅读情况，现将学生分成男生、女生两个小组对两组学生某个月的课后阅读时长进行统计，情况如下表：
课后阅读时长平均数（小时）
方差
男生组
25
1
女生组
26
1.1
则该班学生这个月的课后阅读时长平均数为小时，方差为．

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13、已知复数z满足 $z (1 + i) = 2 + i$ ，则 $| z | =$ ．

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14、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知动点P满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ， $λ \in [0, 1], μ \in [0, 1]$ ，且 $A B = A A_{1}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若 $λ = 1$ ，则三棱锥 $B - A B_{1} P$ 的体积是定值 B、若 $μ = 1$ ，则三棱锥 $B - A B_{1} P$ 的体积是定值 C、若 $λ = μ = \frac{1}{2}$ ，则三棱锥 $B - A B_{1} P$ 的体积是三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积的 $\frac{1}{6}$ D、若 $λ + μ = 1$ ，则直线AP与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值的最大值是 $\frac{\sqrt{42}}{7}$

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15、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $|z_{1} + z_{2}| \leq |z_{1}| + |z_{2}|$ B、若 $|z_{1}| |z_{2}| = {|z_{1}|}^{2}$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ C、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$ D、若 $z_{2} \neq 0$ ，则 $|\frac{z_{1}}{z_{2}}| = \frac{|z_{1}|}{|{\bar{z}}_{2}|}$

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16、已知向量 $\vec{a} = (2, m), \vec{b} = (- 1, 3)$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{10}$ ，则 $m = 4$ B、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $m = \frac{2}{3}$ C、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m = - 6$ D、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为钝角，则m的取值范围是 $(- \infty, \frac{2}{3})$

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17、已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为O，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}, | \vec{A B} | = \sqrt{3} | \vec{A O} |$ ，则 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{B C}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{B C}$ C、 $\frac{5}{8} \vec{B C}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$

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18、为了得到 $y = \sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ 的图象，只需把 $y = \sin x$ 图象上所有的点（）

A、先向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度，横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标保持不变 B、先向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 C、先向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度，横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标保持不变 D、先向左平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变

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19、有一组从小到大排列的样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，由这组数据得到新样本数据 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ ，其中 $y_{i} = a x_{i} + b$ $(i = 1, 2, \dots, n)$ ， $a > 0, b \neq 0$ ，则（）

A、数据 $y_{2}, y_{3}, \dots, y_{n - 1}$ 的标准差不小于数据 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ 的标准差 B、数据 $y_{2}, y_{3}, \dots, y_{n - 1}$ 的中位数与数据 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ 的中位数相等 C、若数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的方差为m，则数据 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ 的方差为 $a m$ D、若数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的极差为d，则数据 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ 的极差为 $a d + b$

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20、若两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，且满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |, (\vec{a} + 3 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\cos θ =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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分组	频数	频率
$[12, 14)$	10	0.1
$[14, 16)$	x	0.15
$[16, 18)$	20	0.2
$[18, 20)$	30	y
$[20, 22)$	15	0.15
$[22, 24)$	5	0.05
$[24, 26]$	5	0.05
合计	100	1.00

	课后阅读时长平均数（小时）	方差
男生组	25	1
女生组	26	1.1