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1、设函数 $f (x) = [a x - (m + 1) e^{x}] (a x - \ln x)$ （其中e为自然对数的底数），若存在实数a使得 $f (x) < 0$ 恒成立，则实数m的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{e^{2}} - 1, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{e} - 1, + \infty)$ C、 $(e^{2} - 1, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{e^{2}} - 1)$

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2、设 $n$ 为偶数，则 $7^{n} + C_{n}^{1} 7^{n - 1} + C_{n}^{2} 7^{n - 2} + \dots + C_{n}^{n - 1} \cdot 7$ 被 $9$ 整除的余数是（）

A、0 B、1 C、2 D、 $- 1$

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3、若直线 $l : k x - y + 3 k = 0$ 与曲线 $C : \sqrt{1 - x^{2}} = y - 1$ 有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$ B、 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ C、 $(0, \frac{3}{4})$ D、 $(0, \frac{3}{4}]$

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4、已知正态分布 $N (1, σ^{2})$ 的正态密度曲线如图所示， $X ~ N (1, σ^{2})$ ，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　）

A、 $\frac{1}{2} - P (X \leq 0)$ B、 $\frac{1}{2} - P (X \geq 2)$ C、 $\frac{1}{2} - P (1 \leq X \leq 2)$ D、 $\frac{1}{2} P (X \leq 2) - \frac{1}{2} P (X \leq 0)$

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5、直线 $l_{1}$ 的方向向量 ${\vec{ν}}_{1} = (1 ， 0 ， - 1)$ ，直线 $l_{2}$ 的方向向量 ${\vec{ν}}_{2} = (- 2 ， 0 ， 2)$ ，则不重合直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的位置关系是（）

A、相交 B、平行 C、垂直 D、不能确定

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6、已知i为虚数单位，复数 $z_{1} = 1 + 2 i, z_{2} = 2 - i$ ，则（）

A、 $z_{1}$ 的共轭复数为 $- 1 + 2 i$ B、 $|z_{1}| = |z_{2}|$ C、 $z_{1} + z_{2}$ 为实数 D、 $z_{1} \cdot z_{2}$ 在复平面内对应的点在第一象限

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7、如图， $△ A^{'} O^{'} B^{'}$ 为水平放置的 $△ A O B$ 斜二测画法的直观图，且 $O^{'} A^{'} = \frac{3}{2}, O^{'} B^{'} = 4$ ，则 $△ A O B$ 的周长为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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8、若集合 $M = \{x| 2 x - 1 > 5\}$ ， $N = \{x \in N^{*} | - 1 < x < 5\}$ ，则 $(∁_{R} M) \cap N =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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9、函数 $f (x) = A tan (ω x + φ) (ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (\frac{13 π}{12}) =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、3 D、 $3 \sqrt{3}$

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10、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ， “存在 $m, n \in [0, \frac{π}{2}]$ ，函数 $f (x)$ 的图象既关于直线 $x = m$ 对称，又关于点 $(n, 0)$ 对称”是“ $ω \geq 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部分组成，其中第一部分为曲线段ABCD，该曲线段可近似看作函数 $y = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ ， $x \in [- 4, 0]$ 的图象，图象的最高点坐标为 $C (- 1, 2)$ .第二部分是长为1千米的直线段DE， $D E // x$ 轴.跑道的最后一部分是以O为圆心的一段圆弧 $\overset{⌢}{E F}$ .

(1)、若新校门位于图中的B点，其离AF的距离为1千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的万象楼，求该学生走过的路BO的长；

(2)、若点P在弧 $\overset{⌢}{E F}$ 上，点M和点N分别在线段 $O F$ 和线段 $O E$ 上，若平行四边形 $O M P N$ 区域为学生的休息区域，记 $∠ P O F = θ$ ，请写出学生的休息区域 $O M P N$ 的面积S关于 $θ$ 的函数关系式，并求当 $θ$ 为何值时， $S$ 取得最大值.

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12、如图所示正四棱锥 $S - A B C D$ ， $S A = S B = S C = S D = 2$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $P$ 为侧棱 $S D$ 上的点，且 $S P = 3 P D$ ，求：

(1)、正四棱锥 $S - A B C D$ 的表面积；

(2)、若 $M$ 为 $S A$ 的中点，求证： $S C / /$ 平面 $B M D$ ；

(3)、侧棱 $S C$ 上是否存在一点 $E$ ，使得 $B E / /$ 平面 $P A C$ .若存在，求 $\frac{S E}{E C}$ 的值；若不存在，试说明理由.

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13、已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ， $g (x) = |x - 2|$ .

(1)、求方程 $f (x) = g (x)$ 的解集；

(2)、定义： $\max \{a, b\} = \{\begin{cases} a, a \geq b \\ b, a < b \end{cases}$ .已知定义在 $[0, + \infty)$ 上的函数 $h (x) = \max \{f (x), g (x)\}$ ，求函数 $h (x)$ 的解析式；

(3)、在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数 $h (x)$ 的简图，并根据图象写出函数 $h (x)$ 的单调区间和最小值.

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14、（1）已知 $|\overset{⇀}{a}| = 4$ ， $|\overset{⇀}{b}| = 5$ ，且 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为60°，求 $|2 \overset{⇀}{a} - 3 \overset{⇀}{b}|$ 的值；
（2）在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2} ， B C = 2$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $F$ 在 $C D$ 边上，若 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A F} = \sqrt{2}$ ，求 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{B F}$ 的值.

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15、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $3 b \cos C + 3 c \cos B = 5 a \sin A$ ，且A为锐角，则当 $\frac{a^{2}}{b c}$ 取得最小值时， $\frac{a}{2 b + c}$ 的值为．

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16、如图， $△ A B C$ 的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 如图所示，其中 $A^{'} B^{'} / / x^{'}$ 轴， $A ^{'} C^{'} / / y^{'}$ 轴，且 $A^{'} B^{'} = A ^{'} C^{'} = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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17、命题“ $\forall x \in R$ ，都有 $x^{2} ＋ x + 1 > 0$ ”的否定是.

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18、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A B = B C = 1$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 的对角线交点 $O$ ，点 $E$ 是侧棱 $B B_{1}$ 上的一个动点，下列结论正确的是（）

A、直三棱柱的侧面积是 $4 + 2 \sqrt{3}$ B、直三棱柱的外接球表面积是 $8 π$ C、三棱锥 $E - A A_{1} O$ 的体积与点 $E$ 的位置有关 D、 $A E + E C_{1}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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19、下列叙述正确的是（）

A、在等边三角形 $A B C$ 中， $\vec{A B}$ 与 $\vec{B C}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ B、若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b} |=| \vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，若 $\vec{a} / / \vec{c}$ ， $\vec{c} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、若 $O$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ，则 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心

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20、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i^{7}) z = 3 - i$ ， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则下列说法中正确的是（）

A、 $z$ 的实部与虚部之积为 $2$ B、 $z$ 的共轭复数为 $2 - i$ C、 $z$ 在复平面内对应的点在第三象限 D、 $| z - 2 \bar{z} | = \sqrt{13}$

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