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相关试卷

1、全民健身创精彩，健康成长蟩未来.为此某校每年定期开展体育艺术节活动，活动期间举办乒乓球比赛.假设甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率为 $p$ （ $0 < p < 1$ ）.

(1)、若比赛采用五局三胜制，且 $p = 0.5$ ，则求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；

(2)、若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且 $p > \frac{1}{2}$ ，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大？并说明理由.

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2、汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个古老传说的益智玩具.如图所示目标柱起始柱辅助柱的汉诺塔模型，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有 $n$ 个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面.规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将 $n$ 个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为 $p (n)$ ，则 $p (3) =$ . $\sum_{i = 1}^{n} p (i) =$ .

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3、将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为．（结果用分数表示）

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4、“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，当一个正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分即为“牟合方盖”，他提出“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为定值．南北朝时期祖暅提出理论：“缘幂势既同，则积不容异”，即“在等高处的截面面积总是相等的几何体，它们的体积也相等”，并算出了“牟合方盖”和球的体积．其大体思想可用如图表示，其中图1为棱长为 $2 r$ 的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为 $2 r$ 的正方体的八分之一，图3是以底面边长为 $r$ 的正方体的一个底面和底面以外的一个顶点作的四棱锥，则根据祖暅原理，下列结论正确的是：（）

A、若以一个平行于正方体上下底面的平面，截“牟合方盖”，截面是一个圆形 B、图2中阴影部分的面积为 $h^{2}$ C、“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为 $π : 4$ D、由棱长为 $2 r$ 的正方体截得的“牟合方盖”体积为 $\frac{16}{3} r^{3}$

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5、已知函数 $f (x) = a sin 2 x + b cos 2 x (a b \neq 0)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称，若存在 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，满足 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| + |f (x_{2}) - f (x_{3})| + \dots + |f (x_{n - 1}) - f (x_{n})| = |24 b|$ ，其中 $n \geq 2, n \in N_{+}$ ，则 $n$ 的最小值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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6、在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（ $d_{1}$ ，单位：m）与制动距离（ $d_{2}$ ，单位：m）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度 $v$ （单位：km/h）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述 $d_{1}$ ， $d_{2}$ 与 $v$ 的函数关系的是（）

A、 $d_{1} = α v$ ， $d_{2} = β \sqrt{v}$ B、 $d_{1} = α v$ ， $d_{2} = β v^{2}$ C、 $d_{1} = α \sqrt{v}$ ， $d_{2} = β v$ D、 $d_{1} = α \sqrt{v}$ ， $d_{2} = β v^{2}$

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7、中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 $a = 6$ ， $b + c = 8$ ，则此三角形面积的最大值为（）

A、 $3 \sqrt{7}$ B、8 C、 $4 \sqrt{7}$ D、 $9 \sqrt{3}$

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8、已知函数对任意的 $x \in R$ 有 $f (x) + f (- x) = 0$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = ln (x + 1)$ ，则函数 $f (x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9、定义 $\frac{n}{p_{1} + p_{2} + p_{3} + \cdot \cdot \cdot + p_{n}}$ 为 $n$ 个正数 $p_{1}, p_{2}, p_{3}, \cdot \cdot \cdot, p_{n}$ 的“均倒数”，若已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项的“均倒数”为 $\frac{1}{5 n}$ ，则 $a_{10}$ 等于（）

A、85 B、90 C、95 D、100

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10、设集合U=R， $A = \{x |2^{x (x - 2)} < 1\}$ ， $B = \{x |y = \ln (1 - x)\}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、{x|x≥1} B、{x|1≤x<2} C、{x|0<x≤1} D、{x|x≤0}

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11、将2024表示成7个正整数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7}$ 之和，得到方程 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} + x_{7} = 2024$ ①，称七元有序数组 $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7})$ 为方程①的解，对于上述的七元有序数组 $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7})$ ，当 $1 \leq i, j \leq 7$ 时，若 $\max (x_{i} - x_{j}) = t (t \in N)$ ），则称 $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7})$ 是 $t -$ 密集的一组解．

(1)、方程①是否存在一组解 $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7})$ ，使得 $x_{i + 1} - x_{i} (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ 等于同一常数?
若存在，请求出该常数，若不存在，请说明理由；

(2)、方程①的解中共有多少组是 $1 -$ 密集的?

(3)、记 $S = \sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$ ，问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值：若不存在，请说明理由．

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12、某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会．每次中奖的概率为 $p (0 < p \leq \frac{1}{2})$ ，每次中奖与否相互不影响．中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金．

(1)、已知 $p = \frac{1}{3}$ ，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率；

(2)、已知该商场开业促销活动的经费为2万元，问该活动是否会超过预算?请说明理由．

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且关于x的方程 $n x^{2} + 2 \sqrt{S_{n}} x + n + 1 = 0, n \in N^{*}$ 有两个相等的实数根．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = (a_{n} + 1) \cdot 2^{a_{n}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，且 $T_{n} \geq 4^{n} λ$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的最大值．

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14、为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有 $10$ 道题目，随机抽取 $3$ 道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的 $6$ 道，试求：

(1)、抽到他能答对题目数 $X$ 的分布列；

(2)、求 $X$ 的期望和方差

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{4 - {(x - 2)}^{2}}, 0 \leq x < 4 \\ f (x - 4), x \geq 4 \end{array}$ ，若对于正数 $k_{n} (n \in N^{*})$ ，直线 $y = k_{n} x$ 与函数 $f (x)$ 的图像恰好有 $2 n + 1$ 个不同的交点，则 $k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + \dots + k_{n}^{2} =$ ．

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16、我们把形如 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 和 $C_{2} : \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两个双曲线叫做共轭双曲线设共轭双曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}} + \frac{2}{e_{2}}$ 的最大值是．

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17、设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，且 $P (A) = \frac{1}{2} ， P (A \cap B) = \frac{1}{6}$ ，则 $P (A \cap \bar{B}) =$ ．

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18、设一组样本的统计数据为： $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，其中 $n \in N^{*}, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in R$ ，已知该样本的统计数据的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，设函数 $f (x) = \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - x)}^{2}, x \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、设 $b \in R$ ，则 $x_{1} + b, x_{2} + b, \dots, x_{n} + b$ 的平均数为 $\bar{x} + b$ B、设 $a \in R$ ，则 $a x_{1}, a x_{2}, \dots, a x_{n}$ 的方差为 $a^{2} s^{2}$ C、当 $x = \bar{x}$ 时，函数 $f (x)$ 有最小值中 $n^{2} s^{2}$ D、 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n}) \geq n^{2} s^{2}$

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19、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的极小值点为 $- \frac{1}{e^{2}}$ B、 $f^{'} (- 2) = 0$ C、函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(- \infty, - 2)$ D、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 有两个不同的零点，则 $a \in (- \frac{1}{e^{2}}, 0)$

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20、已知由样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ 组成的一个样本，得到回归直线方程为 $\hat{y} = - x + 2$ ，且 $\bar{x} = 4$ ．剔除一个偏高直线较大的异常点 $(- 14, - 2)$ 后，得到新的回归直线经过点 $(7, - 4)$ ．则下列说法正确的是（）

A、相关变量x，y具有正相关关系 B、剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大 C、剔除该异常点后的回归直线方程经过点 $(6, - 2)$ D、剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小

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