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相关试卷

1、已知集合 $A = Z, B = \{x ∣ - 1 \leq x \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x ∣ - 1 \leq x \leq 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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2、端午节，又称端阳节､龙舟节､重午节，端午节是中华民族传统文化的重要组成部分.某校打算举办有关端午节的知识竞答比赛，比赛规则如下：比赛一共进行两轮，每轮比赛回答一道题，每轮比赛共有A，B，C三类题目，参赛选手随机从这三类题目中选择一类作答，第一轮中被选中的题目在第二轮比赛开始前工作人员会用同一类型的题目替换，参赛选手答对一道A类题目得10分，答对一道B类题目得20分，答对一道C类题目得40分，两轮比赛后，若选手累计得分不低于50分，则通过比赛，已知甲､乙两位同学都参加了这次比赛，且甲答对A类题目的概率是 $\frac{3}{4}$ ，答对B类题目的概率是 $\frac{3}{4}$ ，答对C类题目的概率是 $\frac{1}{2}$ ，乙答对每类题目的概率都是 $\frac{3}{5}$ .假设甲､乙选择哪类题目作答相互独立，且每轮比赛结果也是相互独立的.

(1)、求甲第一轮答对A类题目的概率；

(2)、求甲通过比赛的概率；

(3)、求甲､乙两人中至少有1人通过比赛的概率.

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3、已知函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3}) + 2 sin x cos x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{7 π}{12}, 0]$ 上的值域.

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4、在底面为正方形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = 4$ ， $P D = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 在线段 $P D$ 上， $P B / /$ 平面 $E A C$ ，则四面体 $A B C E$ 外接球的表面积为．

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5、如图，在四面体 $A B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $A C D, △ A C D$ 是边长为4的等边三角形， $A B = 3, E, F$ 分别是棱 $A D, B C$ 的中点，则 $|\vec{E F}| =$ .

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6、生活质量指数是用于衡量人们生活质量水平的一种指标体系.某机构对某地进行生活质量指数调查，得到该地15个地区的生活质量指数为 $68, 68, 69, 71, 73, 75, 75, 76, 78, 80, 85, 85, 87, 91, 93$ ，则这15个地区的生活质量指数的第60百分位数是.

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7、有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1.也可由正方体切割而成，如图2.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若 $A B = 2$ ，则（）

A、该几何体的表面积为 $12 \sqrt{3}$ B、该几何体的体积为4 C、直线 $H M$ 与直线 $G N$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、二面角 $B - E F - H$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$

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8、已知函数 $f (x) = A cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $A = 2$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5 π}{12}, 0)$ 对称 D、不等式 $f (x) > 1$ 的解集是 $(k π - \frac{π}{12}, k π + \frac{π}{4}) (k \in Z)$

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9、已知复数 $z = {(2 + i)}^{2} (1 - i)$ ，则（）

A、 $z$ 的实部是 $- 1$ B、 $|z| = 5 \sqrt{2}$ C、 $z$ 的共轭复数是 $- 1 - i$ D、 $z$ 在复平面内对应的点位于在第一象限

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10、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} (2 a - 1) x + 3 a^{2}, x ⩽ 1, \\ {log}_{a} x + 9 a - 3, x > 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的单调函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 2]$ B、 $(1, 3]$ C、 $(0, \frac{1}{2}] \cup (1, 3]$ D、 $(0, \frac{1}{3}] \cup (1, 2]$

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11、为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将8瓶该种饮料装一箱，其中有2瓶能够中奖，现从一箱该饮料中随机抽取2瓶，则下列两个事件是互斥但不对立的是（）

A、至少1瓶中奖”与“2瓶都中奖” B、“至多1瓶中奖”与“2瓶都中奖” C、“恰有1瓶中奖”与“2瓶都不中奖” D、“恰有1瓶中奖”与“至多1瓶中奖”

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12、已知 $sin (α + 3 π) + 2 cos α = 0$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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13、已知空间问量 $\vec{a} = (2, - 1, 1), \vec{b} = (m, 3, - 3)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是钝角，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 6) \cup (- 6, 3)$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $(3, 6) \cup (6, - \infty)$ D、 $(3, + \infty)$

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14、已知 $m$ 是一条直线， $α, β$ 是两个不同的平面，且 $m ⊥ α$ ，则“ $m$ $//$ $β$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知集合 $A = {x ∣ x + 3 > 2}, B = {x ∣ m - 2 < x < m}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1]$ D、 $(- \infty, - 1)$

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和， $a_{1} a_{3} = 16 ， S_{3} = 14$ ，则 $a_{2} =$ ；记 $T_{n} = a_{1} a_{2} \dots a_{n} (n = 1 ， 2 ， \dots)$ ，若存在 $n_{0} \in N^{*}$ 使得 $T_{n}$ 最大，则 $n_{0}$ 的值为．

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17、设数阵 $A_{0} = (\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array})$ ，其中 $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ．设 $S = \{e_{1}, e_{2}, \dots, e_{l}\} \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，其中 $e_{1} < e_{2} < \dots < e_{l}, l \in N^{*}$ 且 $l \leq 6$ ．定义变换 $φ_{k}$ 为“对于数阵的每一行，若其中有 $k$ 或 $- k$ ，则将这一行中每个数都乘以 $- 1$ ；若其中没有 $k$ 且没有 $- k$ ，则这一行中所有数均保持不变” $(k = e_{1}, e_{2}, \dots, e_{l}) . φ_{s} (A_{0})$ 表示“将 $A_{0}$ 经过 $φ_{e_{1}}$ 变换得到 $A_{1}$ ，再将 $A_{1}$ 经过 $φ_{e_{2}}$ 变换得到 $A_{2}, \dots$ 以此类推，最后将 $A_{l - 1}$ 经过 $φ_{e_{l}}$ 变换得到 $A_{l}$ ．记数阵 $A_{l}$ 中四个数的和为 $T_{s} (A_{0})$ ．

(1)、若 $A_{0} = (\begin{array}{l} 1 & 3 \\ 3 & 6 \end{array}), S = \{1, 3\}$ ，写出 $A_{0}$ 经过 $φ_{1}$ 变换后得到的数阵 $A_{1}$ ，并求 $T_{s} (A_{0})$ 的值；

(2)、若 $A_{0} = (\begin{array}{l} 1 & 3 \\ 3 & 6 \end{array}), S = \{e_{1}, e_{2}, e_{3}\}$ ，求 $T_{s} (A_{0})$ 的所有可能取值的和；

(3)、对任意确定的一个数阵 $A_{0}$ ，证明： $T_{s} (A_{0})$ 的所有可能取值的和不超过 $- 4$ ．

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18、已知 $O$ 为坐标原点， $F$ 为抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $A (x_{0}, y_{0})$ 在抛物线上，其中 $y_{0} > 0$ ，弦 $O A$ 的中点为 $M$ ，以 $M$ 为端点的射线 $M F$ 与抛物线交于点 $B$ ．
（1）若 $F$ 恰好是 $△ A O B$ 的重心，求 $y_{0}$ ；
（2）若 $1 \leq y_{0} \leq 2$ ，求 $\frac{S_{△ A O B}}{S_{△ O M F}}$ 的取值范围．

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19、某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面 $A B C$ 与 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 全等且所在平面平行， $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 各边表示挡雨棚支架，支架 $A A_{1}$ 、 $B B_{1}$ 、 $C C_{1}$ 垂直于平面 $A B C$ .雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为 $\frac{π}{6}$ （即 $∠ A O B = \frac{π}{6}$ ），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形 $A A_{1} O_{1} O$ （ $O$ 、 $O_{1}$ 分别在 $C A$ 、 $C_{1} A_{1}$ 延长线上）.

(1)、挡雨板（曲面 $B B_{1} C_{1} C$ ）的面积可以视为曲线段 $B C$ 与线段 $B B_{1}$ 长的乘积．已知 $O A = 1.5$ 米， $A C = 0.3$ 米， $A A_{1} = 2$ 米，小组成员对曲线段 $B C$ 有两种假设，分别为：①其为直线段且 $∠ A C B = \frac{π}{3}$ ；②其为以 $O$ 为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；

(2)、小组拟自制 $△ A B C$ 部分的支架用于测试（图3），其中 $A C = 0.6$ 米， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， $∠ C A B = θ$ ，其中 $\frac{π}{6} < θ < \frac{π}{2}$ ，求有效遮挡区域高 $O A$ 的最大值.

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20、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形，E，F分别在棱 $P D$ ， $B C$ 上且 $P E = \frac{1}{3} P D$ ， $C F = \frac{1}{3} B C$ ．

(1)、证明： $C E$ ∥平面 $P A F$ ；

(2)、若 $A D = A P$ ，求直线 $C D$ 与平面 $P A F$ 所成角的正弦值．

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