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相关试卷

1、五一假期期间，某单位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，则不同安排方法的种数有（）

A、42 B、72 C、78 D、96

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2、已知函数 $f (x) = x - ln x$ ，则 $f (x)$ 单调递增区间是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $(0, 1)$

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3、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 4) = 0.6$ ，则 $P (ξ < 2)$ 等于（）

A、0.1 B、0.2 C、0.3 D、0.4

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4、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $S_{3} = 1$ ， $S_{6} = 4$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、12

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $2 a - c = 2 b cos C$ .

(1)、求B；

(2)、若点D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC（包括顶点）上， $∠ E D F = \frac{π}{6}$ ， $b = c = 2$ .设 $∠ B D E = α$ ，将 $△ D E F$ 的面积S表示为 $α$ 的函数，并求S的取值范围.

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6、某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在 $[70, 80)$ 的有10个．

(1)、求n和乙样本直方图中a的值；

(2)、试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；

(3)、采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在 $[60, 70)$ 和 $[70, 80)$ 的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在 $[70, 80)$ 中的概率．

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7、 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心， $A B = 2, A C = 4, ∠ C A B = 120^{\circ}, P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ B、 $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 上的投影向量等于 $- \frac{1}{2} \vec{A C}$ . C、 $|\vec{A G}| = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\vec{A P} \cdot (\vec{B P} + \vec{C P})$ 的最小值为 $- \frac{3}{2}$

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8、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，若对任意 $x_{0} \in D_{1}$ ，恰好存在n个不同的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1$ ， 2，…，n， $n \in N^{*}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“n重覆盖函数”.

(1)、判断 $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ （ $x \in [0, 4]$ ）是否为 $f (x) = x + 4$ （ $x \in [0, 5]$ ）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由；

(2)、若 $g (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + (2 a - 3) x + 1, - 2 \leq x \leq 1 \\ x - 1, x > 1 \end{array}$ 为 $f (x) = \log_{2} \frac{2^{x} + 2}{2^{x} + 1}$ 的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；

(3)、函数 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[1.2] = 1$ ， $[2] = 2$ ， $[- 1.2] = - 2$ ，若 $h (x) = a x - [a x]$ ， $x \in [0, 2)$ 为 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ， $x \in [0, + \infty)$ 的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.

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9、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $2 c \sin A \cos B + b \sin B = \frac{5}{2} c \sin A$

(1)、求 $\frac{\sin A}{\sin C}$

(2)、若 $a > c$ ，角 $B$ 的平分线交 $A C$ 于 $D$ .
（I）求证： $B D^{2} = B A \cdot B C - D A \cdot D C$ .
（II）若 $a = 1$ ，求 $D B \cdot A C$ 的最大值

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10、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD，PB与底面所成的角为 $45^{\circ}$ ，底面ABCD为直角梯形， $∠ A B C = ∠ B A D = 90^{\circ} ， A D = 2 P A = 2 B C = 2$

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面PCD：

(2)、在线段PD上是否存在点E，使CE与平面PAD所成的角为 $45^{\circ}$ ？若存在，求出有 $\frac{P E}{P D}$ 的值：若不存在，说明理由.

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11、某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $\dots$ ， $[90, 100]$ 得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求样本成绩的第75百分位数；

(3)、已知落在 $[50, 60)$ 的平均成绩是56，方差是7，落在 $[60, 70)$ 的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数 $\bar{z}$ 和总方差 $s ^{2}$ .

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12、将四个半径为 $2$ 的小球放入一个大球中，则这个大球表面积的最小值为．

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13、将一枚质地均匀的骰子连续抛掷 $2$ 次，向上的点数分别记为 $a, b$ ，则事件“ $|a - b| \leq 1$ ”的概率为.

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14、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 2 A B = 2$ ， $M$ 为边 $B C$ 的中点，将 $△ A B M$ 沿直线 $A M$ 翻折成 $△ A B_{1} M$ ，连接 $B_{1} D$ ， $N$ 为线段 $B_{1} D$ 的中点，则在翻折过程中，（）

A、异面直线 $C N$ 与 $A B_{1}$ 所成的角为定值 B、存在某个位置使得 $A M ⊥ B_{1} D$ C、点 $C$ 始终在三棱锥 $B_{1} - A M D$ 外接球的外部 D、当二面角 $B_{1} - A M - D$ 为 $60 ^{°}$ 时，三棱锥 $B_{1} - A M D$ 的外接球的表面积为 $\frac{14 π}{3}$

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15、吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例.在实际应用中，通常用吸光度 $A$ 和透光率 $T$ 来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为 $T = \frac{1}{10^{A}}$ ，如表为不同玻璃材料的透光率：
玻璃材料
材料1
材料2
材料3
$T$
0.6
0.7
0.8
设材料1､材料2､材料3的吸光度分别为 $A_{1} ､ A_{2} ､ A_{3}$ ，则（）

A、 $A_{1} > 2 A_{2}$ B、 $A_{2} + A_{3} > A_{1}$ C、 $A_{1} + A_{3} > 2 A_{2}$ D、 $A_{1} A_{3} < A_{2}^{2}$

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16、已知一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n} (x_{1} < x_{2} < \cdot \cdot \cdot < x_{n})$ ，现有一组新的 $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{x_{2} + x_{3}}{2}, \cdot \cdot \cdot, \frac{x_{n - 1} + x_{n}}{2}, \frac{x_{n} + x_{1}}{2}$ ，则与原样本数据相比，新的样本数据（）

A、平均数不变 B、中位数不变 C、极差变小 D、方差变小

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17、已知 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心， $A$ 为锐角且 $\sin A = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，若 $\vec{A O} = α \vec{A B} + β \vec{A C}$ ，则 $α + β$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 1)$ 为偶函数， $f (x + 2) - 1$ 为奇函数．若 $f (1) = 0$ ，则 $\sum_{k = 1}^{26} f (k) =$ （）

A、23 B、24 C、25 D、26

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19、若古典概型的样本空间 $Ω = \{1, 2, 3, 4\}$ ，事件 $A = \{1, 2\}$ ，甲：事件 $B = Ω$ ，乙：事件 $A, B$ 相互独立，则甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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20、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\vec{a}$ B、 $\vec{b}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $- \vec{b}$

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玻璃材料	材料1	材料2	材料3
$T$	0.6	0.7	0.8