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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是 $\frac{3 π}{4}$ ，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{2}$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量是（）

A、 $- \sqrt{2} \vec{a}$ B、 $- \vec{a}$ C、 $- \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$

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2、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\cos A = \frac{3}{5}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $b = \sqrt{3}$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、2

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3、若 $\sin θ - \cos θ = \frac{2}{3}$ ，则 $\sin 2 θ$ 的值是（）

A、 $- \frac{5}{9}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $- \frac{4}{9}$

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4、若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，17，20，23，25，27，31，36，37．则该组数据的第35百分位数为（）

A、17 B、20 C、23 D、25

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5、已知 $\frac{z}{1 + i} = i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $- i$ C、 $- 1 + i$ D、1

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6、已知函数 $f (x) = e ^{2 x} + 2 (1 - a) e ^{x} - 2 a x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > 0$ 时，求证： $f (x) > ln a - (2 a - 1) ^{2} + \frac{3}{2}$ .

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7、3名同学去听同时举行的 $A$ ， $B$ ， $C$ 课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座（每个讲座被选择是等可能的）.

(1)、记选择 $B$ 课外知识讲座的人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望；

(2)、对于两个不相互独立的事件 $M$ ， $N$ ，若 $P (M) > 0$ ， $P (N) > 0$ ，称 $ρ (M, N) = \frac{P (M N) - P (M) P (N)}{\sqrt{P (M) P (\bar{M}) P (N) P (\bar{N}})}$ 为事件 $M$ ， $N$ 的相关系数.
①已知 $ρ (M, N) > 0$ ，证明 $P (M | N) > P (M)$ ；
②记事件 $E =$ “ $B$ 课外知识讲座有同学选择”，事件 $F =$ “至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件 $E$ ， $F$ 是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求 $ρ (E, F)$ .

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8、数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{5}{2}$ ， $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n} - 4}{a_{n} - 1}$ .

(1)、证明 $\{\frac{1}{a_{n} - 2}\}$ 是等差数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{9 ^{n}}{(a_{n} - 2) \times 10 ^{n}}$ ，
①当数列 $\{b_{n}\}$ 的项取得最大值时，求 $n$ 的值；
②求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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9、某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表：
性别
足球
合计
喜欢
不喜欢
男生
30
20
50
女生
10
20
30
合计
40
40
80

(1)、依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？

(2)、现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和期望.
附： $χ ^{2} = \frac{n (a d - b c) ^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$a$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$χ_{a}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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10、函数 $f (x) = x ^{2} + \frac{λ}{x}$ ， $λ \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $x + y = 0$ 垂直，求切线 $l$ 的方程；

(2)、若 $x > 0$ ， $f (x) \geq 1$ ，求 $λ$ 的取值范围.

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11、已知函数 $f (x) = x^{2} - a e^{- x}$ 只有1个零点，则 $a$ 的取值范围是.

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12、在 ${(x + 1)}^{2} + {(x + 1)}^{3} + {(x + 1)}^{4} + \dots + {(x + 1)}^{10}$ 展开式中，含 $x ^{2}$ 项的系数是.（用数字作答）

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13、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = S_{n} + 1$ ， $a_{1} = 0$ ，则 $a_{8} =$ .

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14、有3台车床加工同一型号的零件. 第1台加工的次品率为 $6 %$ ，第2，3台加工的次品率均为 $5 %$ ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的 $25 %$ ， $30 %$ ， $45 %$ . 则下列结论正确的是（）

A、任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率为 $0.06$ B、任取一个零件，它是次品的概率为 $0.0525$ C、如果取到的零件是次品，它是第2台车床加工的概率为 $\frac{2}{7}$ D、如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为 $\frac{3}{55}$

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15、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2 cm$ ，取正方形 $A B C D$ 各边的中点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ ，作第2个正方形 $E F G H$ ，然后再取正方形 $E F G H$ 各边的中点 $I$ ， $J$ ， $K$ ， $L$ ，作第3个正方形的 $I J K L$ ，依此方法一直继续下去. 设第 $k$ 个正方形面积为 $a_{k}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{3} = 1 {cm}^{2}$ B、 $a_{2} = 16 a_{6}$ C、前6个正方形面积和为 $\frac{63}{16} {cm}^{2}$ D、如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近 $8 {cm}^{2}$

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16、设离散型随机变量 $X$ 的分布列如下表，若离散型随机变量 $Y$ 满足 $Y = 2 X - 1$ . 则下列结论正确的是（）
$X$
0
1
2
3
$P$
$q$
0.2
0.1
0.2

A、 $E (X) = 1.2$ B、 $E (Y) = 1$ C、 $D (X) = 1.4$ D、 $D (Y) = 28$

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17、有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 共八个点，一枚棋子起始位置在点 $A$ 处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为 $i (i = 1, 2, \dots, 6)$ . 则棋子前进 $i$ 步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束.若此时棋子在点 $A$ 处，则游戏过关. 试问游戏结束时过关的概率为（）

A、 $\frac{1}{18}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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18、下列四个不等式① $ln x < x < e^{x}$ ， ② $e^{x - 1} \geq x$ ， ③ $ln x \geq x - 1$ ， ④ $x ln x \geq x - 1$ 中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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19、某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量 $x$ （吨）与相应的生产能耗 $y$ （吨）的几组对应数据如表所示：
$x$
3
4
5
6
$y$
2.5
3
4
4.5
根据表中数据得出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $y = 0.7 x + \hat{a}$ ，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为（）

A、5.15吨 B、5.25吨 C、5.5吨 D、9.5吨

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20、2025有（）个不同的正因数

A、8 B、10 C、12 D、15

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性别	足球		合计
性别	喜欢	不喜欢	合计
男生	30	20	50
女生	10	20	30
合计	40	40	80

$a$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$χ_{a}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

$X$	0	1	2	3
$P$	$q$	0.2	0.1	0.2

$x$	3	4	5	6
$y$	2.5	3	4	4.5