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相关试卷

1、对800名参加竞赛选拔学生的成绩作统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，并绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和平均数（求平均数时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、现从以上各组中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人.若分数在区间 $[70, 90)$ 的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和 $\frac{277}{5}$ ，第三组 $[70, 80)$ 的学生实际成绩的平均数与方差分别为72分和1，求第四组 $[80, 90)$ 的学生实际成绩的平均数与方差.

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2、已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4， $B C = 2 \sqrt{6}$ ， PB＝PC＝3， $P A ⊥$ 平面PBC，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积是.

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3、如图，一架无人机距离地面的高度 $P Q = 200$ m，在 $Q$ 处观测到岳麓山山顶 $C$ 的仰角为15°，地面上 $A$ 处的俯角为45°，若 $∠ B A C = 60 °$ ，则岳麓山的高度 $B C$ 为m.

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4、复数 $z = \frac{i}{3 + 4 i}$ ，则 $z + \bar{z} =$ .

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5、点 $O$ 在 $△ A B C$ 所在的平面内，则以下说法正确的有（）

A、若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心（外接圆圆心） B、若 $\vec{A O} = λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}| \sin B} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}| \sin C}) (λ \in R)$ ，则动点 $O$ 的轨迹一定通过 $△ A B C$ 的重心 C、若 $2 \vec{O A} + \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ， $S_{△ A O C}$ ， $S_{△ A B C}$ 分别表示 $△ A O C$ ， $△ A B C$ 的面积，则 $S_{△ A O C} : S_{△ A B C} = 1 : 6$ D、若 $\vec{O A} \cdot (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{C A}}{|\vec{C A}|}) = \vec{O B} \cdot (\frac{\vec{B A}}{|\vec{B A}|} + \frac{\vec{C B}}{|\vec{C B}|}) = \vec{O C} \cdot (\frac{\vec{B C}}{|\vec{B C}|} + \frac{\vec{C A}}{|\vec{C A}|}) = 0$ ，则点 $O$ 是 $△ A B C$ 的内心

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6、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $A_{1} B$ 与 $E F$ 所成的角的大小为 $60^{\circ}$ B、直线 $A D_{1} / /$ 平面 $D E F$ C、平面 $D E F ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ D、直线 $C D$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$

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7、下列说法正确的有（）

A、某班有40名学生，若采用简单随机抽样从中抽取4人代表本班参加社区活动，那么学号为04的学生被抽到的可能性为10% B、已知一组数据1，2， $m$ ， 6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C、将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍 D、若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小

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8、如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若点 $E$ ， $F$ 分别满足 $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，三棱柱高为3， $△ A B C$ 面积为 $3 \sqrt{3}$ ，则几何体 $B_{1} C_{1} - B C F E$ 的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{11 \sqrt{3}}{3}$

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9、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - 2 \vec{b}|$ ，且 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{2}{3} \vec{a}$ ，则 $\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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10、已知 $M$ 是四面体 $O A B C$ 的棱 $B C$ 的中点，点 $N$ 在线段 $O M$ 上，点 $P$ 在线段 $A N$ 上，且 $M N = \frac{1}{2} O N ， A P = \frac{3}{4} A N$ ，以 $\vec{O A}, \vec{O B}, \vec{O C}$ 为基底，则 $\vec{O P}$ 可以表示为（）

A、 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ B、 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ C、 $\vec{O P} = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ D、 $\vec{O P} = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$

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11、已知一组样本数据：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，则这组样本数据的第70百分位数与中位数之和是（）

A、29 B、30 C、31 D、32

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12、如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，且 $O^{'} A^{'} ∥ B^{'} C^{'}$ ， $O^{'} A^{'} = 2 B^{'} C^{'} = 2$ ， $A^{'} B^{'} = 1$ ，则该平面图形的高为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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13、若复数 $z$ 的模为10，虚部为 $- 8$ ，则复数 $z$ 的实部为（）

A、 $- 6$ B、6 C、 $\pm 6$ D、36

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14、已知F为抛物线C： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，且C上一点 $(m, 3)$ 到点F的距离为4.

(1)、求C的方程；

(2)、若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且 $|A F| + |B F| = 24$ ，求l的方程.

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15、已知锐角 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (2 a, c), \vec{n} = (sin C, - \sqrt{3})$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $\frac{b}{c} = \frac{3}{2}, △ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $a$ ．

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16、至少经过正五棱台 $A B C D E - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1}$ 的3个顶点的平面共有个．

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17、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 是 $M$ 上的一点，且 $|P F_{1}| = \frac{4 a}{3}, P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $M$ 的离心率为．

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18、2018年至2023年某国财政收入增长速度分别为 $6.2 %, 3.8 %, - 3.9 %, 10.7 %, 0.5 %,6 .4%$ ，则该组数据的 $60 %$ 分位数为.

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19、已知函数 $f (x)$ 有2个极值点，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = sin x + 3 x$ B、 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ C、 $f (x) = (x^{2} - x) e^{x}$ D、 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$

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20、已知复数 $z = \frac{\sqrt{2} + i}{2 - \sqrt{2} i}$ ，则（）

A、 $z$ 的实部为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $z$ 的虚部为 $- \frac{2}{3}$ C、 $|z| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于第一象限

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