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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 2 c$ ，且 $\frac{b^{2}}{c^{2}} = 5 + 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 $b^{2}$ .

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2、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x e^{x}$ .

(1)、求 $f (- 2)$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的解析式.

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3、苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617）在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究后发明的对数，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数 $N$ 可以表示成 $N = a \times 10^{n} (1 \leq a < 10, n \in Z)$ ，则 $lg N = n + lg a (0 \leq lg a < 1)$ ，这样我们可以知道 $N$ 的位数为 $n + 1$ .已知正整数 $M$ ，若 $M^{10}$ 是10位数，则 $M$ 的值为.（参考数据： $10^{0.9} \approx 7.94, 10^{1.1} \approx 12.56$ ）

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4、已知命题“ $\exists x \in [1, 5]$ ，使得 $e^{x} - \frac{1}{x} - a < 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是.

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5、已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{20}$ 的平均数为5，则数据 $3 + 2 x_{1}, 3 + 2 x_{2}, \dots, 3 + 2 x_{20}$ 的平均数是.

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6、定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (\frac{3 π}{2} + x) = f (\frac{π}{2} - x)$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 关于 $x = π$ 对称 C、 $f (2 π) = 1$ D、 $f (x)$ 是周期函数

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7、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别是棱 $A_{1} C_{1}, B C$ 的中点，则下列结论中一定正确的是（）

A、 $C C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ B、 $A F ⊥$ 平面 $C B B_{1} C_{1}$ C、 $E F$ ∥平面 $A_{1} B_{1} B A$ D、 $A E$ ∥平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$

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8、已知集合 $A = \{x | 0 < x \leq 3\}, B = \{x | - 1 \leq x < 1\}$ ，则（）

A、 $A \cap B = [- 1, 3]$ B、 $A \cap B = (0, 1)$ C、 $A \cup B = (0, 1)$ D、 $A \cup B = [- 1, 3]$

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9、要得到 $y = sin (\frac{π}{3} - \frac{x}{4})$ 的图象，只需将函数 $y = sin \frac{x}{4}$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{4 π}{3}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{4 π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{8 π}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{8 π}{3}$ 个单位长度

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10、某校高一年级数学周练满分100分，学生分数均在 $[40, 100]$ 内，将学生成绩分成6组并作出频率分布直方图，但不小心污损了部分图形
（如图所示），则该次数学成绩的中位数是（）

A、60分 B、75分 C、79.5分 D、85分

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11、向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (2, λ - 1), \vec{c} = (2, - 3)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b})$ ∥ $(\vec{c} - \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ （）

A、5 B、 $- 5$ C、2 D、 $- 2$

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12、已知 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $a = \sqrt{5}, c = \sqrt{10}$ ， $B = \frac{π}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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13、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + b x + c \leq 1 (b, c \in R)$ 的解集为 $[- \frac{3}{2}, 2]$ ，则 $b + c$ 的值是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、2 D、 $- \frac{5}{2}$

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14、 $z = \frac{1 + i}{i} - (1 - i) (2 + 3 i)$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 - 2 i$ B、 $- 4 - 2 i$ C、 $2 + 2 i$ D、 $- 4 + 2 i$

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15、若 $α \in (0, \frac{π}{2}), sin α = \frac{2}{7}$ ，则 $tan α =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{15}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{7}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{5}{7}$

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16、函数 $f (x) = lg (3 x^{2} - 5 x)$ 的定义域为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(0, \frac{5}{3})$ C、 $(- \infty, 0) \cup (\frac{5}{3}, + \infty)$ D、 $(\frac{5}{3}, + \infty)$

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17、如图， $S - A B C$ 是正三棱锥且侧棱长为 $a$ ，两侧棱 $S A, S C$ 的夹角为 $30 °, E, F$ 分别是 $S A, S C$ 上的动点，则三角形 $B E F$ 的周长的最小值为（）

A、 $\sqrt{2} a$ B、 $\sqrt{3} a$ C、 $\sqrt{5} a$ D、 $\sqrt{6} a$

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18、空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 $2 π$ 与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 $\frac{π}{3}$ ，故其各个顶点的曲率均为 $2 π - 3 \times \frac{π}{3} = π$ .如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $A$ 的曲率为 $\frac{2 π}{3}$ ， $N$ ， $M$ 分别为 $A B$ ， $C C_{1}$ 的中点，且 $A B = A C$ .

(1)、证明： $C N ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $A A_{1} = \sqrt{2} A B$ ，求二面角 $B_{1} - A M - C_{1}$ 的余弦值；

(3)、表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为 $D$ ，棱数为 $L$ ，面数为 $M$ ，则有： $D - L + M = 2$ .利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.

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19、据《人民网》报道，“美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的420/0来自植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷

		按造林方式分
地区	造林总面积	人工造林	飞播造林	新封山育林	退化林修复	人工更新
内蒙	618484	311052	74094	136006	90382	6950
河北	583361	345625	33333	135107	65653	3643
河南	149002	97647	13429	22417	15376	133
重庆	226333	100600		62400	63333
陕西	297642	184108	33602	63865	16067
甘肃	325580	260144		57438	7998
新疆	263903	118105	6264	126647	10796	2091
青海	178414	16051		159734	2629
宁夏	91531	58960		22938	8298	1335
北京	19064	10012		4000	3999	1053

（Ⅰ）请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；

（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少？

（Ⅲ）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．

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20、如图，四边形 $A B C D$ 是圆柱 $O E$ 的轴截面，点 $F$ 在底面圆 $O$ 上，圆 $O$ 的半径为1， $A F = \sqrt{3}$ ，点 $G$ 是线段 $B F$ 的中点.

(1)、证明： $E G / /$ 平面 $D A F$ ；

(2)、若直线 $D F$ 与圆柱底面所成角为45°，求三棱锥 $C - A D F$ 的体积.

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