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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．若 $b = 1$ ，且 $a^{2} - c^{2} = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\cos A = - \frac{1}{2 c}$ B、 $\tan A + 3 \tan C = 0$ C、角B的最大值为 $\frac{π}{3}$ D、 $△ A B C$ 的外接圆面积的最小值为 $π$

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ ，且两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是椭圆 $C$ 上任意一点，以下结论正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为12 C、 $|P F_{1}|$ 的最小值为3 D、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 的最大值为16

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3、“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由两个仓组成，某粒子作布朗运动时，每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{20}{27}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{9}$

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，且 $a_{n} = \{\begin{array}{l} \begin{matrix} (2 a - 1) n + 4, n \leq 5 \\ {(4 - a)}^{n - 4} + 15, n > 5 \end{matrix} \end{array}$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{20}{11}]$ B、 $(\frac{1}{2}, \frac{20}{11})$ C、 $(\frac{1}{2}, 2]$ D、 $(\frac{1}{2}, 2)$

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5、已知函数 $f (x)$ 的部分图像如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \sin (\tan x)$ B、 $f (x) = \tan (\sin x)$ C、 $f (x) = \cos (\tan x)$ D、 $f (x) = \tan (\cos x)$

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6、已知 $l, m$ 是两条不同的直线， $α, β$ 为两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的命题是（）

A、若 $α ⊥ β, l / / β$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $l ⊥ m, m \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $m \subset α, l / / β, l / / m$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ α, l / / β, l / / m$ ，则 $α ⊥ β$

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7、已知集合 $U = {- 1, 0, 1, 2, 3}, A = {2, 3}, B = {0, 1}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${0}$ D、 ${1}$

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8、若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 .

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9、水平放置的 $△ A B C$ 的直观图如图所示，已知 $A^{'} C^{'} = 3$ ， $B^{'} C^{'} = 2$ ，则 $A B$ 边上的中线的实际长度为．

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10、下列命题中正确的是（）

A、若 $z = 1 - \sqrt{3} i$ ，则 $| z | = 4$ B、若 $z = i + 1$ ，则 $z \cdot \bar{z} = - 2$ C、已知 $m$ ， $n \in R$ ， $i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，则 $m + n = 1$ D、若复数 $z$ 满足 $| z - 1 | = 2$ ，则 $| z + i |$ 的最大值为 $2 + \sqrt{2}$

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11、如图，已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的所有棱长均为2， $E$ 为棱 $P A$ 的中点，则异面直线 $B E$ 与 $P C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12、一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7下列结论不正确的是（）

A、这组数据的平均数为7 B、这组数据的众数为7 C、这组数据的中位数为7 D、这组数据的方差为7

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13、在 $△ A B C$ 中，若 $A C^{2} + B C^{2} = 5 A B^{2}$ ，则 $\frac{\tan C}{\tan A} + \frac{\tan C}{\tan B} =$ ．

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14、在 $△ A B C$ 中， $B = \frac{π}{3}$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点， $C D = \sqrt{3}$ ，则 $A B + 2 B C$ 的取值范围为（）

A、 $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{3}]$ B、 $(2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{6}]$ C、 $(2 \sqrt{3}, 4 \sqrt{3}]$ D、 $(0, 4 \sqrt{3}]$

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15、在四面体 $A B C D$ 中，点E满足 $\vec{D E} = λ \vec{D C} ，$ F为BE的中点，且 $\vec{A F} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{1}{6} \vec{A D} ，$ 则实数λ=（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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16、若“ $1 < x < 2$ ”是“ $|x - 2 m| < 1$ ”的充分不必要条件，则实数 $m$ 的取值范围为

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17、直线 $3 x + \sqrt{3} y + 5 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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18、类比于二维空间（即平面），向量 $\vec{a}$ 可用二元有序数组 $(a_{1}, a_{2})$ 表示，若 $n$ 维空间向量 $\vec{a}$ 用 $n$ 元有序数组 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 表示，记为 $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ， $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ ，且 $n$ 维空间向量满足 $|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{n}^{2}}, |\vec{b}| = \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + \dots + b_{n}^{2}}, \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \dots + a_{n} b_{n}$ .

(1)、当 $\vec{a} = (1, 2, 3), \vec{b} = (3, 2, 1)$ ，求 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ .

(2)、证明： $(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + \dots + b_{n}^{2}) \geq {(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \dots + a_{n} b_{n})}^{2}$ ；

(3)、若 $a, b, c$ 是正实数，且满足 $a + b + c = 3$ ，求证： ${(a + \frac{1}{a})}^{2} + {(b + \frac{1}{b})}^{2} + {(c + \frac{1}{c})}^{2} \geq 12$ .

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19、如图，边长为3的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 的中点，点 $F$ 是 $B C$ 的中点，将 $△ A E D$ 、 $△ D C F$ 分别沿 $D E$ 、 $D F$ 折起，使 $A$ 、 $C$ 两点重合于点 $A^{'}$ ，连接 $E F, A^{'} B$ .

(1)、求证： $A^{'} D ⊥$ 平面 $A^{'} E F$ ；

(2)、求四棱锥 $A^{'} - D E B F$ 的体积.

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20、在一次选拔比赛中，每个选手都需要进行5轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四、五轮问题的概率分别为 $\frac{6}{7}$ 、 $\frac{4}{5}$ 、 $\frac{3}{4}$ 、 $\frac{3}{4}$ 、 $\frac{1}{3}$ ，且各轮问题能否正确回答互不影响.

(1)、求该选手进入第二轮才被淘汰的概率；

(2)、求该选手至多进入第四轮考核的概率.

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