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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2})$ ，函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，且 $f (\frac{π}{6}) = 0$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式：

(2)、求使 $2 f (x) - 1 \geq 0$ 成立的 $x$ 的取值范围.

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2、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $c sin A + \sqrt{3} a cos C = 0$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = 4 ， △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $b$ 和 $c$ .

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3、已知圆 $O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆， $A = \frac{π}{3}, B C = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{A O} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C})$ 的最大值为.

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4、若 $\forall x \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，不等式 $x^{2} - a x + 1 \leq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为.

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5、已知 $sin α = \frac{1}{3},$ 则 $cos (α + \frac{π}{2}) =$

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6、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 ， E$ 是正方形 $A B B_{1} A_{1}$ 的中心， $F$ 是棱 $C D$ (包含顶点) 上的动点，则以下结论正确的是（）

A、 $E F$ 的最小值为 $\sqrt{5}$ B、不存在点 $F$ ，使 $E F$ 与 $A_{1} D_{1}$ 所成角等于 $30^{\circ}$ C、二面角 $E - A F - B$ 正切值的取值范围为 $[1 ， \sqrt{2}]$ D、当 $F$ 为 $C D$ 中点时，三棱锥 $F - A B E$ 的外接球表面积为 $\frac{25}{4} π$

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7、抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 $A =$ “第一次的点数不大于3 ”， $B =$ “第二次的点数不小于4 ”， $C =$ “两次的点数之和为3的倍数”，则下列结论正确的是（）

A、事件 $A$ 发生的概率 $P (A) = \frac{1}{2}$ B、事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立 C、事件 $C$ 发生的概率 $P (C) = \frac{1}{3}$ D、事件 $A B$ 与事件 $C$ 对立

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8、若复数 $z$ 满足 $i z = 1 - i$ ，下列说法正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为 $- i$ B、 $\bar{z} = - 1 + i$ C、 $|z| = \sqrt{2}$ D、 $z \cdot \bar{z} = z^{2}$

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9、已知函数 $f (x) = x - sin x, a = f (π), b = f (2), c = - f (- \sqrt{3})$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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10、已知正实数 $a, b$ 满足 $a + 4 b = a b$ ，则 $a + b$ 的最小值为（）

A、4 B、9 C、10 D、20

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11、已知 $△ A B C$ 中， $\vec{A E} = 2 \vec{A B} ， \vec{B M} = 2 \vec{M C}$ ，若 $\vec{A F} = x \vec{A C}$ ，且 $E ， M ， F$ 三点共线，则 $x =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{6}$

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12、设 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）

A、若 $m / / α, n \subset α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α, α / / β$ ，则 $m / / β$ C、若 $m ⊥ α, m ⊥ n$ ，则 $n / / α$ D、若 $m ⊥ α, m / / β$ ，则 $α ⊥ β$

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13、已知向量 $\vec{a} = (2 ， 0), \vec{b} = (1 ， 2)$ ，若 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、2

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14、已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ ，则“ $α > 0$ ”是“ $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、函数 $f (x) = l n x + x - 2$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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16、已知集合 $A = \{- 1, 1, 3\}, B = \{0, 1, 3\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{1, 3\}$ B、 $\{- 1, 1, 3\}$ C、 $\{0, 1, 3\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 3\}$

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17、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120 °$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120 °$ 的点 $O$ 即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120 °$ 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，

(1)、若 $c \sin C - a \sin A = (c - b) \sin B$ ，
①求 $A$ ；
②若 $b c = 2$ ，设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ；

(2)、若 $cos 2 B + cos 2 C - cos 2 A = 1$ ，设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点， $|P B| + |P C| = t |P A|$ ，求实数 $t$ 的最小值．

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18、如图，在平面斜坐标系 $x O y$ 中， $∠ x O y = 60 °$ ，平面上任一点 $P$ 的斜坐标定义如下：若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ （其中 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别为与 $x$ 轴， $y$ 轴同方向的单位向量），则点 $P$ 的斜坐标为 $(x, y)$ ．此时有 $\vec{O A} = (1, 2)$ ， $\vec{O B} = (m, 4)$ ，试在该斜坐标系下探究以下问题：

(1)、若 $m = 3$ ，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的值；

(2)、求与 $\vec{O A}$ 垂直的单位向量的坐标．

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19、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 6$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， AC边上的中线为BN，M为BC边上靠近B的四等分点，连接AM交BN于点P．

(1)、用 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A M}$ ，并计算AM的长；

(2)、求∠NPM的余弦值．

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20、已知 $m \in R$ ， $i$ 为虚数单位，复数 $z = m - 6 + (m^{2} + 2 m - 3) i$ .

(1)、若 $z \in R$ ，求m的值；

(2)、若复数z对应的点在第三象限，求m的取值范围.

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