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相关试卷

1、下列说法中，正确的是（）

A、设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (0, 1)$ ，若 $P (X \geq 1) = p$ ，则 $P (- 1 < X < 0) = 1 - 2 p$ B、某人在10次答题中，答对题数为 $X$ ， $X \sim B (10, 0.7)$ ，则答对7题的概率最大 C、基于小概率值 $α$ 的检验规则是：当 $χ^{2} \geq x_{α}$ 时，我们就推断 $H_{0}$ 不成立，即认为 $X$ 和 $Y$ 不独立，该推断犯错误的概率不超过 $α$ ；当 $χ^{2} < x_{α}$ 时，我们没有充分证据推断 $H_{0}$ 不成立，可以认为 $X$ 和 $Y$ 独立 D、将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法

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2、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x + 1)$ 为奇函数， $g (x - 2)$ 为偶函数， $f (x - 1) = g (2 - x) + 1$ ， $f (- 1) = 1$ ，则 $f (2023) g (2024) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、2023 D、2024

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3、当 $a < 0$ 时，函数 $f (x) = (x^{2} + a x) e^{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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4、若 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\tan 2 α = \frac{2 \cos α}{3 - 2 \sin α}$ ，则 $\tan α$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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5、若 ${(x - \frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}})}^{n}$ 的展开式中各项系数之和为 $- 128$ ，则展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、 $- 2835$ B、945 C、2835 D、 $- 945$

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6、已知向量 $\vec{a} = (3, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, m - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、1 D、0

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7、已知复数 $z = 1 + i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $\frac{z}{z \bar{z} + i} =$ （）

A、 $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} i$ B、 $\frac{1}{5} + \frac{1}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5} + \frac{1}{5} i$ D、 $- \frac{1}{5} + \frac{1}{5} i$

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8、某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为 $6 : 5 : 4$ ，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（）人.

A、16 B、18 C、20 D、24

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9、已知三次函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + 5 (b < 0)$ 有极小值点 $x = 2$ ，则下列说法中正确的有（）

A、 $b = - 3$ B、函数 $f (x)$ 有三个零点 C、函数 $f (x)$ 的对称中心为 $(1, 3)$ D、过 $(- 1, 1)$ 可以作两条直线与 $y = f (x)$ 的图象相切

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10、为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物实验的数据：
患病
未患病
服用药
10
45
没服用药
20
30
由上述数据得出下列结论，其中正确的是（）
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ；
$P (χ^{2} \geq x_{0})$
0.05
0.025
0.010
0.005
$x_{0}$
3.841
5.024
6.635
7.879

A、根据小概率值 $α = 0.025$ 的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025 B、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01 C、该药物的预防有效率超过 $97.5 %$ D、若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，根据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005

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11、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{a}{b} = \frac{b + c}{a} = \frac{\sqrt{3} \sin A}{\cos B}$ .

(1)、求 $C$ .

(2)、若 $b = 1$ ，点 $M, N$ 是边 $A B$ 上的两个动点，当 $∠ M C N = \frac{π}{3}$ 时，求 $△ M C N$ 面积的取值范围.

(3)、若点 $M, N$ 是直线 $A B$ 上的两个动点，记 $∠ M C N = θ (0 < θ \leq \frac{π}{2}), ∠ C M N = α, ∠ C N M = β$ .若 $\cos β (\sin^{2} α + \cos α) + \sin α \sin β (\cos α - 1) = \sin α$ 恒成立，求 $θ$ 的值.

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12、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{3}$ 且 $(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$ ，则 $\vec{b} \cdot \vec{c}$ 的最大值为.

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (2, 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .不过原点的直线 $l : y = k x + m$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，记直线 $M A$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $M B$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = \frac{1}{4}$ .

(1)、证明：直线 $l$ 的斜率 $k$ 为定值；

(2)、求 $△ M A B$ 面积的最大值.

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14、已知x为正实数， $f (x) = {(\sqrt{x} - \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 展开式的二项式系数和为256．

(1)、求展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求展开式中含 $x^{\frac{3}{2}}$ 的项；

(3)、若第k项是有理项，求k的取值集合．

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $2 a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ 且 $a_{1} = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、设 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数.
①求 $S_{n}$ ；
②证明：当 $n \geq 2$ 时， $[S_{n}]$ 为定值.

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16、2022年10月梦天实验舱发射，标志着中国空间站三舱“T”字的基本构型完成.除了梦天实验舱外，中国空间站的基本构型还包括天和核心舱和问天实验舱．假设要安排3名中国航天员和2名国际航天员前往中国空间站开展实验，每个舱段必须安排至少一人，天和核心舱需要安排3人，且两名国际航天员不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有种．

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17、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $|z_{1} - 4 i| = |z_{1} - 5 i|$ ， $|z_{2} - 1 + 2 i| = 2$ （ $i$ 为虚数单位）， $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $2 x^{2} + 3 a x + a^{2} - a = 0$ $(a \in R)$ 在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（）

A、 $|z_{2} - {\bar{z}}_{1}|$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ B、 $|z_{2} - z_{1}|$ 的最小值为4 C、当 $0 < a < 1$ 时，则 $|x_{1}| + |x_{2}| = \frac{\sqrt{a^{2} + 8 a}}{2}$ D、当 $- 8 < a < 0$ 时，则 $|x_{1}| + |x_{2}| = \sqrt{2 (a^{2} - a)}$

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18、已知 $a = \ln (sin 1.02)$ ， $b = \frac{\sqrt{1.02}}{51}$ ， $c = \ln 1.02$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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19、若函数 $f (x) = a x^{2} - e^{2 x}$ 在区间 $(- 2, - 1)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2 e, + \infty)$ B、 $[- \frac{1}{2 e^{4}}, + \infty)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{e^{2}}]$ D、 $[- \frac{1}{e^{2}}, 0]$

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20、四棱锥至多有几个面是直角三角形？（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.05	0.025	0.010	0.005
$x_{0}$	3.841	5.024	6.635	7.879

	患病	未患病
服用药	10	45
没服用药	20	30